ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2556 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 26

กำหนดให้ $S = \{- 3, - 2, - 1, 1, 2, 3\}$ และ $M = \{[\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ 0 & a_{4} & a_{5} \\ 0 & 0 & a_{6} \end{matrix}] | a_{i} \in S, 1 \leq i \leq 6\}$ สุ่มหยิบเมทริกซ์จากเซต $M$ มา $1$ เมทริกซ์ ความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์ ซึ่งมีค่าดีเทอร์มิแนนท์ของเมทริกซ์นั้นเท่ากับ $27$ หรือ $- 27$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{2}{6^{3}}$
2
$\frac{4}{6^{3}}$
3
$\frac{6}{6^{3}}$
4
$\frac{8}{6^{3}}$
5
$\frac{10}{6^{3}}$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ M = [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ 0 & a_{4} & a_{5} \\ 0 & 0 & a_{6} \end{matrix}] เมื่อ a_{i} \in S, 1 \leq i \leq 6 จะได้ d e t M = [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} & a_{3} \\ 0 & a_{4} & a_{5} \\ 0 & 0 & a_{6} \end{matrix}] = [a_{1} a_{4} a_{6} + (a_{2} a_{5}) (0) + (a_{3}) (0)] - [(0) (a_{4} a_{3}) + (0) (a_{5} a_{1}) + (a_{6}) (0) (a_{2})] = a_{1} a_{4} a_{6}$

$จากโจทย์ S = \{- 3, - 2, - 1, 1, 2, 3\} ค่าดีเทอร์มิแมนท์ของเมริกซ์ เท่ากับ 27 หรือ - 27 แสดงว่า d e t M = \pm 27; โดย d e t M = a_{1} a_{4} a_{6} a_{1} a_{4} a_{6} = \pm 27 ดังนั้น a_{1}, a_{4} และ a_{6} ต้องเป็น - 3 หรือ 3 ส่วน a_{2} a_{3} a_{5} จะเป็น - 3, - 2, - 1, 1, 2 หรือ 3 ก็ได้$

เลขที่เป็นไปได้

จำนวนเลขที่เป็นไปได้

a₁

-3 , 3

a₄

-3 , 3

a₆

-3 , 3

a₂

-3 , -2 , -1 , 1 , 2 , 3

a₃

-3 , -2 , -1 , 1 , 2 , 3

a₅

-3 , -2 , -1 , 1 , 2 , 3

$จากโจทย์ ความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์ ซึ่งมีค่าดีเทอร์มิแนนท์เท่ากับ 27 หรือ - 27 สูตร P (E) = \frac{n (E)}{n (S)}; พิจารณา a_{1} - a_{6} มี 6 ตำแหน่ง = \frac{(\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix})}{(\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 6 \\ 1 \end{matrix})} = \frac{2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6}{6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6 \cdot 6} = \frac{2^{3}}{6^{3}} = \frac{8}{6^{3}}$