ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2556 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 9

ถ้า $a_{n} = \frac{n^{3}}{n^{2} + 2} - \frac{n^{2}}{n + 3}$ เมื่อ $n = 1, 2, 3, \dots$ แล้ว $\lim_{n \to \infty} a_{n}$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ a_{n} = \frac{n^{3}}{n^{2} + 2} - \frac{n^{2}}{n + 3} - ใส่ \lim_{n \to \infty} ทั้ง 2 ข้าง จะได้ \lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} (\frac{n^{3}}{n^{2} + 2} - \frac{n^{2}}{n + 3}) = \lim_{n \to \infty} (\frac{n^{3} (n + 3) - n^{2} (n^{2} + 2)}{(n^{2} + 2) (n + 3)}) = \lim_{n \to \infty} (\frac{n^{4} + 3 n^{3} - n^{4} - 2 n^{2}}{n^{3} + 3 n^{2} + 2 n + 6}) = \lim_{n \to \infty} (\frac{3 n^{3} - 2 n^{2}}{n^{3} + 3 n^{2} + 2 n + 6})$

$วิธีลัด \lim_{n \to \infty} เลือกพจน์ที่มีดีกรีสูงสุดของเศษ และส่วน จะได้ \lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} (\frac{3 n^{3}}{n^{3}}) = \lim_{n \to \infty} 3 = 3 ดังนั้น \lim_{n \to \infty} a_{n} = 3$