ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2558 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 30

ถ้า $S_{n} = \sum_{k = 1}^{n} i^{k}$ เมื่อ $i$ แทนจำนวนเชิงซ้อน ซึ่ง $i^{2} = - 1$ แล้วจำนวนนับ $n \in \{10, 11, \dots, 100\}$ ที่ทำให้ $S_{n} = - 1$ มีจำนวนทั้งหมดเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$21$
2
$23$
3
$25$
4
$31$
5
$33$

เฉลยข้อสอบ

$ทฤษฎีจำนวนเชิงซ้อน$	$i = i$	$i^{5} = i$	$i^{9} = i$
	$i^{2} = - 1$	$i^{6} = - 1$	$i^{10} = - 1$
	$i^{3} = - i$	$i^{7} = - i$	$i^{11} = - i$
	$i^{4} = 1$	$i^{8} = 1$	$i^{12} = 1$

$จับเป็นกลุ่ม กลุ่มละ 4 อันดับ จะได้ i + i^{2} + i^{3} + i^{4} = i + (- 1) + (- i) + 1 = 0 i^{5} + i^{6} + i^{7} + i^{8} = i + (- 1) + (- i) + 1 = 0 ⋮ แสดงว่า ผลบวกของ 4 อันดับเรียงกัน = 0$

$จับเป็นกลุ่ม เพิ่ม 3 อันดับ ต่อจาก 4 อันดับข้างต้น จะได้ i + i^{2} + i^{3} = i + (- 1) + (- i) = - 1 (i + i^{2} + i^{3} + i^{4}) + i^{5} + i^{6} + i^{7} = 0 + i^{5} + i^{6} + i^{7} = i + (- 1) + (- i) = - 1$

$(i + i^{2} + i^{3} + i^{4}) + (i^{5} + i^{6} + i^{7} + i^{8}) + i^{9} + i^{10} + i^{11} = 0 + 0 + i^{9} + i^{10} + i^{11} = i + (- 1) + (- i) = - 1$
$ดังนั้น \sum_{i = 1}^{n = 3} i = \sum_{i = 1}^{n = 7} i = \sum_{i = 1}^{n = 11} i = - 1 \to 1 แสดงว่า จำนวนนับ n ที่หารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 3 จะได้ S_{n} = - 1$

$จากโจทย์ จำนวนนับ n \in \{10, 11, \dots, 100\} ที่ทำให้ S_{n} = - 1 จะได้ จำนวนที่หารด้วย 4 แล้วเหลือเศษ 3 คือ 11, 15, 19, . . ., 99$

$หาจำนวนพจน์ n สูตรลำดับเลขคณิต a_{n} = a_{1} + (n - 1) d 99 = 11 + (n - 1) (4) 88 = (n - 1) (4) n = 23 ดังนั้น จำนวนนับ n มีจำนวนทั้งหมดเท่ากับ 23$