ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2560 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 28

ถ้า $S$ เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก $m$ ที่ทำให้ $\frac{2^{100}}{2^{100} - m}$ เป็นจำนวนเต็มบวก

แล้วผลบวกของสมาชิกของ $S$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$99 (2^{99})$
2
$100 (2^{99}) + 1$
3
$99 (2^{100}) + 1$
4
$100 (2^{100})$
5
$101 (2^{101})$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ \frac{2^{100}}{2^{100} - m} เป็นจำนวนเต็มบวก และ S เป็นเซตของจำนวนเต็มบวก m แสดงว่า 2^{100} - m ต้องเป็นตัวประกอบของ 2^{100}$

$โดย ตัวประกอบของ 2^{100} = 2^{0}, 2^{1}, 2^{2}, \dots, 2^{100} จะได้ 2^{100} - m = 2^{0} \to m = 2^{100} - 2^{0} 2^{100} - m = 2^{1} \to m = 2^{100} - 2^{1} 2^{100} - m = 2^{2} \to m = 2^{100} - 2^{2} ⋮ 2^{100} - m = 2^{99} \to m = 2^{100} - 2^{99} 2^{100} - m = 2^{100} \to m = 2^{100} - 2^{100} = 0 (เป็นไปไม่ได้ เพราะ m \in I^{+})$

$ดังนั้น ผลบวกของ m = (2^{100} - 2^{0}) + (2^{100} - 2^{1}) + (2^{100} - 2^{2}) + \dots + (2^{100} - 2^{99}) โดย 0 - 99 มี 100 ตัว = 100 (2^{100}) - (2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + \dots + 2^{99}) \to 1$

$หาค่า 2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + \dots + 2^{99} ซึ่งเป็นอนุกรมเรขาคณิต \to r = 2, n = 100 สูตร S_{n} = \frac{a_{1} (r^{n} - 1)}{r - 1} เมื่อ |r| > 1 S_{100} = \frac{2^{0} (2^{100} - 1)}{2 - 1} S_{100} = 2^{100} - 1 - โดย S_{100} = 2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + \dots + 2^{99}$

$จาก 1 ผลบวกของ m = 100 (2^{100}) - (2^{0} + 2^{1} + 2^{2} + \dots + 2^{99}) = 100 (2^{100}) - (2^{100} - 1) = 100 (2^{100}) - 2^{100} - 1 = 99 (2^{100}) + 1 ดังนั้น ผลบวกของสมาชิก S เท่ากับ 99 (2^{100}) + 1$