ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2561

ข้อ 22

ถ้า $a$ และ $b$ เป็นจำนวนจริงบวก และ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก ที่สอดคล้องกับ $\log a^{3} b^{2 n} = 1, \log a^{2 n} b^{3} = 1$ และ $\log a^{n} b^{n} = \frac{6}{7}$ แล้ว $n \log a^{n} - \log b^{2 n}$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{1}{7}$
2
$\frac{6}{7}$
3
$1$
4
$2$
5
$3$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ \log a^{3} b^{2 n} = 1, \log a^{2 n} b^{3} = 1 จะได้ a^{3} b^{2 n} = 10 \to 1 a^{2 n} b^{3} = 10 \to 2 นำ \frac{1}{2} \frac{a^{3} b^{2 n}}{a^{2 n} b^{3}} = \frac{10}{10} \frac{a^{3}}{a^{2 n}} = \frac{b^{3}}{b^{2 n}} a^{3 - 2 n} = b^{3 - 2 n}; โดย a, b \in R^{+} โดย n เป็นจำนวนเต็มบวก แสดงว่า 3 - 2 n \neq 0 จะได้ a = b$

$จากโจทย์ \log a^{n} b^{n} = \frac{6}{7} - แทน b = a จะได้ \log a^{n} b^{n} = \frac{6}{7} \log a^{2 n} = \frac{6}{7} 2 nlog a = \frac{6}{7} \to 3$

$จากโจทย์ \log a^{3} b^{2 n} = 1 - แทน b = a จะได้ \log a^{3} b^{2 n} = 1 \log a^{3} + \log a^{2 n} = 1 3 \log a + \frac{6}{7} = 1 \log a = \frac{1}{21}; แทนใน 3 จาก 3 จะได้ 2 n (\frac{1}{21}) = \frac{6}{7} n = 9$

$ดังนั้น n \log a^{n} - \log b^{2 n} = nlog a^{n} - \log a^{2 n} = n^{2} \log a - 2 nlog a = (n^{2} - 2 n) \log a = [9^{2} - 2 (9)] \frac{1}{21} = 3$