ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2561

ข้อ 31

กำหนดให้ $P (S)$ แทนเพาเวอร์เซตของเซต $S$ และ $n (S)$ แทนจำนวนสมาชิกของเซต $S$ ให้ $A, B$ และ $C$ เป็นเซตจำกัด โดยที่ $B \subset A$ และ $A \cap C \neq \emptyset$

ถ้า $n (P (P (B))) = n (P (B \cup C)) = 16$ , $n (B \cap C) = 1$ , $n (A \cap C) = 2$ และ $n (P (A - C)) = 4 n (P (C - A))$ แล้ว $n (P (A))$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตร จำนวนสมาชิกของเพาเวอร์เซต n (P (A)) = 2^{n (A)} จากโจทย์ n (P (P (B))) = n (P (B \cup C)) = 16 จะได้ n (P (P (B))) = 16 และ n (P (B \cup C)) = 16 2^{n (P (B))} = 2^{4} 2^{n (B \cup C)} = 2^{4} n (P (B)) = 4 n (B \cup C) = 4 2^{n (B)} = 2^{2} n (B) = 2$

$จากสูตร n (B \cup C) = n (B) + n (C) - n (B \cap C) 4 = 2 + n (C) - 1 n (C) = 3 จากโจทย์ n (P (A - C)) = 4 n (P (C - A)) จะได้ 2^{n (A - C)} = 2^{2} \cdot 2^{n (C - A)}$
$2^{n (A - C)} = 2^{2 + n (C - A)} n (A - C) = 2 + n (C - A) n (A) - n (A \cap C) = 2 + n (C) - n (C \cap A) n (A) = 2 + n (C) n (A) = 2 + 3 n (A) = 5 ดังนั้น n (P (A)) = 2^{n (A)} n (P (A)) = 2^{5} = 32$