ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2561

ข้อ 32

ให้ $A$ เป็นเซตคำตอบของสมการ $|x^{2} - 2 |x|| = x^{2} - 3 x + 2$ ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต $A$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$นิยาม |x| = \{\begin{cases} x เมื่อ x ⩾ 0 \\ - x เมื่อ x < 0 \end{cases} จากโจทย์ |x^{2} - 2 |x|| = x^{2} - 3 x + 2 แยกเป็น 2 กรณี กรณี 1 x \geq 0 \to |x| = x จาก 1 จะได้ |x^{2} - 2 x| = x^{2} - 3 x + 2 \to 2$

$โดย |x^{2} - 2 x| = \{\begin{cases} x^{2} - 2 x เมื่อ x^{2} - 2 x \geq 0 \\ - (x^{2} - 2 x) เมื่อ x^{2} - 2 x < 0 \end{cases} x^{2} - 2 x = 0 x (x - 2) = 0 x = 0, 2$

$- ถ้า |x^{2} - 2 x| = x^{2} - 2 x จาก 2 จะได้ x^{2} - 2 x = x^{2} - 3 x + 2 x = 2$

$- ถ้า |x^{2} - 2 x| = - (x^{2} - 2 x) จาก 2 จะได้ - (x^{2} - 2 x) = x^{2} - 3 x + 2 2 x^{2} - 5 x + 2 = 0 (2 x - 1) (x - 2) = 0 x = \frac{1}{2}, 2$

$กรณี 2 x < 0 \to |x| = - x จาก 1 จะได้ |x^{2} - 2 (- x)| = x^{2} - 3 x + 2 |x^{2} + 2 x| = x^{2} - 3 x + 2 \to 3 โดย |x^{2} + 2 x| = \{\begin{cases} x^{2} + 2 x เมื่อ x^{2} + 2 x \geq 0 \\ - (x^{2} + 2 x) เมื่อ x^{2} + 2 x < 0 \end{cases} x^{2} + 2 x = 0 x (x + 2) = 0 x = 0, - 2$

$- ถ้า |x^{2} + 2 x| = x^{2} + 2 x จาก 3 จะได้ x^{2} + 2 x = x^{2} - 3 x + 2 5 x = 2 x = \frac{2}{5} ขัดแย้งเงื่อนไข x < 0 - ถ้า |x^{2} + 2 x| = - (x^{2} + 2 x) จาก 3 จะได้ - (x^{2} + 2 x) = x^{2} - 3 x + 2$
$2 x^{2} - x + 2 = 0 x = \frac{- (- 1) \pm \sqrt{{(- 1)}^{2} - 4 (2) (2)}}{2 (2)} ข้างใน \sqrt{} ติดลบ เป็นไปไม่ได้ ดังนั้น กรณี 2 ไม่มีคำตอบ แสดงว่า ผลบวกของสมาชิก = \frac{1}{2} + 2 = 2.5$