ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2562

ข้อ 8

ให้พาราโบลารูปหนึ่งมีสมการ $y = x^{2} + 1$ สร้างรูปสามเหลี่ยม $ABC$ โดยที่จุด $A$ เป็นจุดยอดของพาราโบลา จุด $B (x, y)$ และจุด $C (2, 5)$ เป็นจุดบนพาราโบลา ถ้ามุม $A \hat{B} C$ เป็นมุมฉาก แล้วพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม $ABC$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$2 \sqrt{2}$ ตารางหน่วย
2
$3$ ตารางหน่วย
3
$3 \sqrt{2}$ ตารางหน่วย
4
$4$ ตารางหน่วย
5
$4 \sqrt{3}$ ตารางหน่วย

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากข้อมูลในโจทย์ - วาดรูปพาราโบลา และรูปสามเหลี่ยม A B C$

$จากโจทย์ พาราโบลามีสมการ y = x^{2} + 1 \to 1 สูตรพาราโบลา {(x - h)}^{2} = 4 c (y - k) จาก 1 จะได้ว่า x^{2} = (1) (y - 1) แสดงว่า จุดยอด (h, k) = (0, 1) จากโจทย์ A เป็นจุดยอดของพาราโบลา จะได้ A (0, 1) - นำมาวาดรูป$

$จากโจทย์ A \hat{B} C เป็นมุมฉาก แสดงว่า เส้นตรง \bar{A B} ตั้งฉากกับเส้นตรง \bar{B C} จะได้ ความชัน A B \times ความชัน B C = - 1 m_{A B} \times m_{B C} = - 1 (\frac{y - 1}{x - 0}) (\frac{y - 5}{x - 2}) = - 1 - โดย y = x^{2} + 1; แทนในสมการ$

$จะได้ [\frac{(x^{2} + 1) - 1}{x}] [\frac{(x^{2} + 1) - 5}{x - 2}] = - 1 (\frac{x^{2}}{x}) (\frac{x^{2} - 4}{x - 2}) = - 1 x [\frac{(x - 2) (x + 2)}{x - 2}] = - 1$

$x (x + 2) + 1 = 0 x^{2} + 2 x + 1 = 0 {(x + 1)}^{2} = 0 x = - 1$

$- แทน x = - 1 ใน 1 จะได้ y = {(- 1)}^{2} + 1 y = 2 แสดงว่า B (- 1, 2) พื้นที่ของ ∆ A B C = \frac{1}{2} \times ฐาน \times สูง = \frac{1}{2} \times |\bar{A B}| \times |\bar{B C}| \to 2$

$หา |\bar{A B}| = ระยะจาก A (0, 1) ไป B (- 1, 2) = \sqrt{[0 - {(- 1)}^{2}] + {(1 - 2)}^{2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}; แทนใน 2 หา |\bar{B C}| = ระยะจาก B (- 1, 2) ไป C (2, 5) = \sqrt{[2 - {(- 1)}^{2}] + {(5 - 2)}^{2}} = \sqrt{9 + 9} = 3 \sqrt{2}; แทนใน 2$