ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2558

ข้อ 1

กำหนดให้ $p, q$ และ $r$ เป็นประพจน์โดยที่ $(p \lor r) \leftrightarrow (~ p \land ~ q)$ เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น จริง ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
$(q \leftrightarrow r) \lor p$ มีค่าความจริงเป็น จริง
2
$(p \to q) \lor (r \to p)$ มีค่าความจริงเป็น จริง
3
$(r \to q) \land (p \land q)$ มีค่าความจริงเป็น จริง
4
$(q \to ~ p) \lor (q \land r)$ มีค่าความจริงเป็น เท็จ
5
$(r \lor q) \leftrightarrow (p \to ~ r)$ มีค่าความจริงเป็น เท็จ

เฉลยข้อสอบ

$สูตรตรรกศาสตร์ T \land T \equiv T F \lor F \equiv F T \to F \equiv F T \leftrightarrow T \equiv T, F \leftrightarrow F \equiv T$

$จากโจทย์ (p \lor r) \leftrightarrow (~ p \land ~ q) เป็นประพจน์ที่มีค่าความจริงเป็น จริง นั่นคือ (p \lor r) \leftrightarrow (~ p \land ~ q) \equiv T; T \leftrightarrow T \equiv T, F \leftrightarrow F \equiv T กรณีที่ 1 (T \leftrightarrow T \equiv T) (p \lor r) \leftrightarrow (~ p \land ~ q) \equiv T; เขียนแผนภาพ$

$จะได้ ~ p \equiv T และ ~ q \equiv T p \equiv F q \equiv F และ p \lor r \equiv T F \lor r \equiv T; โดย F \lor T \equiv T จะได้ r \equiv T ดังนั้น p \equiv F, q \equiv F, r \equiv T กรณีที่ 2 (F \leftrightarrow F \equiv T) (p \lor r) \leftrightarrow (~ p \land ~ q) \equiv T; เขียนแผนภาพ$

$จะได้ p \equiv F และ r \equiv F และ ~ p \land ~ q \equiv F; จาก p \equiv F ~ F \land ~ q \equiv F T \land ~ q \equiv F; โดย T \land F \equiv F จะได้ ~ q \equiv F q \equiv T ดังนั้น p \equiv F, q \equiv T, r \equiv F$

$จากทั้ง 2 กรณี จะได้ p \equiv F, q \equiv ~ r ดังนั้น q \leftrightarrow r \equiv F; ใช้ในตัวเลือก 1 q \land r \equiv F; ใช้ในตัวเลือก 4 q \lor r \equiv T; ใช้ในตัวเลือก 5 พิจารณาตัวเลือก 1 . (q \leftrightarrow r) \lor p \equiv F \lor F \equiv F ตัวเลือกที่ 1 ผิด$

$2 . (p \to q) \lor (r \to p) \equiv (F \to q) \lor (r \to F); โดย F \to □ \equiv T \equiv T \lor (r \to F); โดย T \lor □ \equiv T \equiv T ตัวเลือกที่ 2 ถูก 3 . (r \to q) \land (p \land q) \equiv (r \to q) \land (F \land q); โดย F \land □ \equiv F \equiv (r \to q) \land F; โดย F \land □ \equiv F \equiv F ตัวเลือกที่ 3 ผิด$

$4 . (q \to ~ p) \lor (q \land r) \equiv (q \to ~ F) \lor F \equiv (q \to T) \lor F; โดย □ \to T \equiv T \equiv T \lor F \equiv T ตัวเลือกที่ 4 ผิด 5 . (r \lor q) \leftrightarrow (p \to ~ r) \equiv T \leftrightarrow (F \to ~ r); โดย F \to □ \equiv T \equiv T \leftrightarrow T \equiv T ตัวเลือกที่ 5 ผิด$