ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2558

ข้อ 35

กำหนดให้ $a > 1$ และนิยาม $L (n) = \log_{2^{n}} (\sqrt[n]{a})$ สำหรับ $n = 1, 2, 3, . . .$
ถ้า $\frac{1}{L (1)} + \frac{1}{L (2)} + . . . + \frac{1}{L (10)} = 77$ แล้วค่าของ $a$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ L (n) = \log_{2^{n}} (\sqrt[n]{a}) = \log_{2^{n}} (a^{\frac{1}{n}}); โดย \log_{n^{y}} m^{x} = \frac{x}{y} \log_{n} m = \frac{\frac{1}{n}}{n} \log_{2} a = \frac{1}{n^{2}} \log_{2} a ดังนั้น \frac{1}{L (n)} = \frac{n^{2}}{\log_{2} a}; โดย \frac{1}{\log_{n} m} = \log_{m} n \frac{1}{L (n)} = n^{2} \log_{a} 2$

$จากโจทย์ \frac{1}{L (1)} + \frac{1}{L (2)} + . . . + \frac{1}{L (10)} = 77 โดย \frac{1}{L (n)} = n^{2} \log_{a} 2; จะได้ 1^{2} \log_{a} 2 + 2^{2} \log_{a} 2 + . . . + 10^{2} \log_{a} 2 = 77 (1^{2} + 2^{2} + . . . + 10^{2}) \log_{a} 2 = 77 โดย \sum n^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}; \frac{10 (10 + 1) [(2 \times 10) + 1]}{6} \log_{a} 2 = 77$