ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2556

ข้อ 26

กำหนดให้ A และ B เป็นเซตจำกัดโดยที่ $A \cap B \neq \emptyset$

สับเซตของ A ที่มีสมาชิก 2 ตัว มีทั้งหมด 10 เซต และสับเซตของ B ที่มีสมาชิก 2 ตัว มีทั้งหมด 6 เซต

ถ้า จำนวนสมาชิกของ $P (P (A \cap B))$ เท่ากับ 16 เมื่อ $P (S)$ แทน เพาเวอร์เซตของ S

แล้ว จำนวนสมาชิกของเซต $A \cup B$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ สับเซตของ A ที่มีสมาชิก 2 ตัว มีทั้งหมด 10 เซต กำหนดให้ A มีจำนวนสมาชิก x ตัว จะได้ จำนวนสับเซตที่มีสมาชิก 2 ตัว = C_{x, 2} C_{x, 2} = 10 \frac{x!}{(x - 2)! 2!} = 10$

$\frac{(x) (x - 1) (x - 2)!}{(x - 2)!} = 20 (x) (x - 1) = 20 x^{2} - x - 20 = 0 (x - 5) (x + 4) = 0 x = 5, - 4 แต่จำนวนสมาชิกติดลบไม่ได้ ดังนั้น n (A) = 5$

$จากโจทย์ สับเซตของ B ที่มีสมาชิก 2 ตัว มีทั้งหมด 6 เซต กำหนดให้ B มีจำนวนสมาชิก y ตัว จะได้ จำนวนสับเซตที่มีสมาชิก 2 ตัว = C_{y, 2} C_{y, 2} = 6 \frac{y!}{(y - 2)! 2!} = 6 \frac{y (y - 1) (y - 2)!}{(y - 2)! 2!} = 6$

$y (y - 1) = 12 y^{2} - y - 12 = 0 (y - 4) (y + 3) = 0 y = 4, - 3 แต่จำนวนสมาชิกติดลบไม่ได้ ดังนั้น n (B) = 4$

$จากโจทย์ จำนวนสมาชิกของ P (P (A \cap B)) เท่ากับ 16 กำหนดให้ P (A \cap B) มีจำนวนสมาชิก a ตัว จะได้ P (A) = 16 2^{n (A)} = 16 2^{n (A)} = 2^{4} n (A) = 4$

$แสดงว่า P (A \cap B) = 4 2^{n (A \cap B)} = 4 2^{n (A \cap B)} = 2^{2} n (A \cap B) = 2 จากสูตร n (A \cup B) = n (A) + n (B) - n (A \cap B) = 5 + 4 - 2 = 7 ดังนั้น จำนวนสมาชิกของเซต A \cup B เท่ากับ 7$