ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2556

ข้อ 28

กำหนดให้ x เป็นจำนวนจริง โดยที่ $\sin x + \cos x = \frac{4}{3}$

ถ้า $(1 + \tan^{2} x) c o t x = \frac{a}{b}$ เมื่อ a และ b เป็นจำนวนเต็ม โดยที่ ห.ร.ม ของ a และ b เท่ากับ 1

แล้ว $a^{2} + b^{2}$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตร \sec^{2} x - \tan^{2} x = 1 \to \sec^{2} x = 1 + \tan^{2} x จากโจทย์ (1 + \tan^{2} x) \cot x = \frac{a}{b} \sec^{2} x \cot x = \frac{a}{b} \frac{1}{\cos^{2} x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = \frac{a}{b}$

$\frac{1}{\sin x \cdot \cos x} = \frac{a}{b} \to 1 จากโจทย์ \sin x + \cos x = \frac{4}{3} {(\sin x + \cos x)}^{2} = {(\frac{4}{3})}^{2}$

$\sin^{2} x + 2 \sin x \cos x + \cos^{2} x = \frac{16}{9} (\sin^{2} x + \cos^{2} x) + 2 \sin x \cos x = \frac{16}{9} 1 + 2 \sin x \cos x = \frac{16}{9} 2 \sin x \cos x = \frac{7}{9} \sin x \cos x = \frac{7}{18}; แทนใน 1$

$จาก 1 จะได้ \frac{1}{\frac{7}{18}} = \frac{a}{b} \frac{a}{b} = \frac{18}{7}$

$จากโจทย์ ห . ร . ม . ของ a และ b เท่ากับ 1 แสดงว่า a = 18, b = 7 ดังนั้น a^{2} + b^{2} = 18^{2} + 7^{2} = 324 + 49 = 373$

ข้อถัดไป