ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557

ข้อ 15

ในคนกลุ่มหนึ่งประกอบด้วยชาย 6 คน และหญิงจำนวนหนึ่ง ความน่าจะเป็นที่เลือกกรรมการ 2 คน เป็นชายทั้งสองเท่ากับ $\frac{1}{8}$ ความน่าจะเป็นที่จะเลือกกรรมการ 5 คนเป็นชายไม่น้อยกว่า 3 คน เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{171}{728}$
2
$\frac{22}{91}$
3
$\frac{175}{728}$
4
$\frac{43}{91}$

เฉลยข้อสอบ

$กำหนดให้ จำนวน ญ มี n คน (จำนวน ช มี 6 คน) จำนวนคนทั้งหมด = n + 6 คน$

$- เลือกกรรมการ 2 คน จากจำนวนคนทั้งหมด n (S) = C_{n + 6, 2} = (\begin{matrix} n + 6 \\ 2 \end{matrix}) = \frac{(n + 6)!}{(n + 4)! 2!} = \frac{(n + 6) (n + 5)}{2} วิธี - เลือกกรรมการ 2 คน จาก ช 6 คน n (E) = C_{6, 2} = (\begin{matrix} 6 \\ 2 \end{matrix}) = \frac{6!}{4! 2!} = 15 วิธี$

$จากโจทย์ ความน่าจะเป็นที่เลือกกรรมการ 2 คน เป็นชายทั้งสองเท่ากับ \frac{1}{8} จะได้ P (E) = \frac{n (E)}{n (S)} \frac{1}{8} = \frac{(15)}{\frac{(n + 6) (n + 5)}{2}} (n + 6) (n + 5) = (16) (15) - ลองแทนค่า n = 10 จะทำให้สมการเป็นจริง (ใช้วิธีลองแทนค่า n จะง่ายกว่าวิธีอื่นมาก) ดังนั้น n = 10 (จำนวน ญ = 10 คน)$

$จากโจทย์ ความน่าจะเป็นที่จะเลือกกรรมการ 5 คน เป็นชายไม่น้อยกว่า 3 คน หา n (E) กรณี 1 ช 3 คน, ญ 2 คน C_{6, 3} \cdot C_{10, 2} = \frac{6!}{3! 3!} \cdot \frac{10!}{8! 2!} = 20 (45) = 900 วิธี$

$กรณี 2 ช 4 คน, ญ 1 คน C_{6, 4} \cdot C_{10, 1} = \frac{6!}{2! 4!} \cdot 10 = 15 (10) = 150 วิธี กรณี 3 ช 5 คน \to C_{6, 5} = \frac{6!}{5! 1!} = 6 วิธี$

$จะได้ n (E) ทั้งหมด = 900 + 150 + 6 = 1056 วิธี หา n (S) n (S) = C_{16, 5} = (\begin{matrix} 16 \\ 5 \end{matrix}) = \frac{16!}{11! 5!} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 4368 วิธี ดังนั้น P (E) = \frac{n (E)}{n (S)} = \frac{1056}{4368} = \frac{22}{91}$