ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

ข้อ 1

ให้ R แทนเซตของจำนวนจริง กำหนดเอกภพสัมพัทธ์คือ $\{x \in R | 1 < x < 2\}$

P(x) แทน $3 x^{2} - 4 x - 4 < 0$
Q(x) แทน $x^{2} > |x^{2} - 4|$

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) $\forall x [P (x)] \to \exists x [P (x) \land Q (x)]$ มีค่าความจริงเป็น จริง

(ข) $\exists x [Q (x)] \to \forall x [P (x)]$ มีค่าความจริงเป็น เท็จ

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
(ก) ถูก และ (ข) ถูก
2
(ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3
(ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4
(ก) ผิด และ (ข) ผิด

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ กำหนดเอกภพสัมพัทธ์คือ \{x \in R | 1 < x < 2\} จะได้ U = (1, 2) หา P (x) จากโจทย์ P (x) แทน 3 x^{2} - 4 x - 4 < 0 จะได้ 3 x^{2} - 4 x - 4 < 0 (3 x + 2) (x - 2) < 0$

$x = (\frac{- 2}{3}, 2) ดังนั้น เซตคำตอบของ P (x) คือ (\frac{- 2}{3}, 2)$

$หา Q (x) จากโจทย์ Q (x) แทน x^{2} > |x^{2} - 4| จะได้ x^{2} > |x^{2} - 4| |x^{2} - 4| < x^{2} - x^{2} < x^{2} - 4 < x^{2} จะได้ - x^{2} < x^{2} - 4 และ x^{2} - 4 < x^{2} 4 < 2 x^{2} \cap - 4 < 0 x^{2} - {(\sqrt{2})}^{2} > 0 เป็นจริงทุกกรณี (x - \sqrt{2}) (x + \sqrt{2}) > 0 x = R$

$x = (- \infty, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty) ดังนั้น เซตคำตอบของ Q (x) คือ [(- \infty, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty) \cap (x = R)] = (- \infty, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty) แสดงว่า U = (1, 2) P (x) = (\frac{- 2}{3}, 2) Q (x) = (- \infty, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty)$

$พิจารณาข้อ (ก) จากโจทย์ \forall x [P (x)] \to \exists x [P (x) \land Q (x)] มีค่าความจริงเป็น จริง โดย \forall x [P (x)] = ค่า x ทุกตัวใน U อยู่ใน P (x) จะได้ \forall x [P (x)] \equiv T โดย \exists x [P (x) \land Q (x)] = ค่า x บางตัวใน U อยู่ใน [P (x) \land Q (x)]$

$P (x) \land Q (x) = (\sqrt{2}, 2) เช่น x = 1.5 ใน U อยู่ใน (\sqrt{2}, 2) จะได้ \exists x [P (x) \land Q (x)] \equiv T แสดงว่า \forall x [P (x)] \to \exists x [P (x) \land Q (x)] \equiv T \to T \equiv T ดังนั้น ข้อ (ก) ถูก$

$พิจารณาข้อ (ข) จากโจทย์ \exists x [Q (x)] \to \forall x [P (x)] มีค่าความจริงเป็น เท็จ โดย \exists x [Q (x)] = ค่า x บางตัว ใน U อยู่ใน Q (x) เช่น x = 1.5 ใน U อยู่ใน (- \infty, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, \infty) จะได้ \exists x [Q (x)] \equiv T แสดงว่า \exists x [Q (x)] \to \forall x [P (x)] \equiv T \to T \equiv T ดังนั้น ข้อ (ข) ผิด$