ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2559

$$\begin{gathered} \mathrm{นิยาม} \mathrm{สัจนิรันดร์} \mathrm{คือ} \mathrm{ประพจน์ที่มีค่าความจริงทุกกรณี} \\ \left(\mathrm{ไม่มีกรณีที่เป็นเท็จแม้แต่กรณีเดียว}\right) \end{gathered}$$
              
$$\begin{gathered} \mathbf{พิจารณาข้อ}\mathbf{ }\mathbf{\left(}\mathit{ก}\mathbf{\right)} \\ \mathrm{จากโจทย์} \left(~p\to q\right)\to \left(~q\to p\right) \mathrm{เป็นสัจนิรันดร์} \mathrm{หรือไม่} \\ \mathrm{สมมติให้ประพจน์} \left(~p\to q\right)\to \left(~q\to p\right) \mathrm{มีค่าความจริงเป็นเท็จ} \\ \mathrm{นั่นคือ} T\to F \equiv F \\ \mathrm{ทำให้ประพจน์} ~p\to q \equiv T \mathrm{และประพจน์} ~q\to p\equiv F \\ \mathrm{จากประพจน์} ~q\to p\equiv F \mathrm{ทำให้} ~q \equiv T , p\equiv F \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{แสดงว่า} q\equiv F , ~p\equiv T \mathrm{นำไปแทนค่าประพจน์} ~p\to q \\ \mathrm{จะได้} ~p\to q\equiv T\to F \\ \equiv F \\ \mathrm{ซึ่งขัดแย้งกับ} ~p\to q\equiv T \mathrm{ที่สมมติไว้ตอนแรก} \\ \mathrm{ดังนั้นจึงทำให้ประพจน์ทั้งหมด} \mathrm{มีค่าความจริงเป็นเท็จไม่ได้} \\ \mathrm{แสดงว่า} \left(~p\to q\right)\to \left(~q\to p\right) \mathrm{เป็นสัจนิรันตร์} \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ข้อ} \left(ก\right) \mathrm{ถูก} \end{gathered}$$​
 
            
$$\begin{gathered} \mathbf{พิจารณาข้อ}\mathbf{ }\mathbf{\left(}\mathit{ข}\mathbf{\right)} \\ \mathrm{จากโจทย์} \left(p\to q\right)\leftrightarrow \left(~p\wedge q\right) \mathrm{ไม่เป็นสัจนิรันดร์} \mathrm{หรือไม่} \\ -\mathrm{โดย} \mathrm{ประพจน์} \left(p\to q\right)\leftrightarrow \left(~p\wedge q\right) \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{ไม่เป็นสัจนิรันดร์เมื่อมีกรณีที่เป็นเท็จ} \\ \mathrm{กำหนดให้} p\equiv F \mathrm{และ} q\equiv F \\ \mathrm{จะได้} \left(p\to q\right)\leftrightarrow \left(~p\wedge q\right) \equiv \left(F\to F\right)\leftrightarrow \left(~F\wedge F\right) \\ \equiv T\leftrightarrow \left(T\wedge F\right) \\ \equiv T\leftrightarrow F \\ \equiv F \\ \mathrm{แสดงว่า} \left(p\to q\right)\leftrightarrow \left(~p\wedge q\right) \mathrm{ไม่เป็นสัจนิรันดร์} \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ข้อ} \left(ข\right) \mathrm{ถูก} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{พิจารณาข้อ}\mathbf{ }\mathbf{\left(}\mathit{ค}\mathbf{\right)} \\ \mathrm{จากโจทย์} \left(p\to q\right)\vee \left(~r\to ~q\right) \mathrm{สมมูลกับ} p\to r \mathrm{หรือไม่} \\ \mathrm{พิจารณา} \\ \left(p\to q\right)\vee \left(~r\to ~q\right) \equiv \left(~p\vee q\right)\vee \left(r\vee ~q\right) \\ \equiv \left(~p\vee r\right)\vee \left(q\vee ~q\right) \\ \equiv \left(~p\vee r\right)\vee T ; \mathrm{โดย} \boxed{} \vee T \equiv T \\ \equiv T \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{แสดงว่า} \mathrm{ประพจน์} \left(p\to q\right)\vee \left(~r\to ~q\right) \mathrm{เป็นจริงเสมอ} \\ \mathrm{แต่ประพจน์} p\to r \mathrm{สามารถเป็นเท็จได้} \mathrm{เมื่อ} p\equiv T , r\equiv F \\ \mathrm{ดังนั้น} \left(p\to q\right)\vee \left(~r\to ~q\right) \mathrm{ไม่สมบูรณ์กับ} p\to r \\ \mathrm{ข้อ} \left(ค\right) \mathrm{ผิด} \\ \mathbf{ดังนั้น}\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ }\mathbf{ตอบข้อ}\mathbf{ }\mathbf{1}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ข้อ}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ก}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{และข้อ}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ข}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ถูก}\mathbf{ }\mathbf{แต่}\mathbf{ }\mathbf{(}\mathbf{ค}\mathbf{)}\mathbf{ }\mathbf{ผิด} \end{gathered}$$