ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2564

ข้อ 32

ทรงกลม คือ เซตของจุดทั้งหมดในระบบพิกัดฉากสามมิติที่ห่างจากจุดๆ หนึ่ง ที่ตรึงอยู่กับที่เป็นระยะทางคงตัว จุดที่ตรึงอยู่กับที่นี้เรียกว่าจุดศูนย์กลางของทรงกลม และส่วนของเส้นตรงที่มีจุดศูนย์กลางและจุดบนทรงกลมเป็นจุดปลายเรียกว่ารัศมีของทรงกลม

กำหนดทรงกลมรัศมียาว $9$ หน่วย มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่จุด $O (0, 0, 0)$

จุด $P_{1}, P_{2} และ P_{3}$ อยู่บนทรงกลม โดยที่

$O P_{1} = [\begin{matrix} 6 \\ - 6 \\ 3 \end{matrix}], O P_{2} = [\begin{matrix} - 6 \\ 3 \\ 6 \end{matrix}] และ O P_{3} = [\begin{matrix} 7 \\ 4 \\ - 4 \end{matrix}]$

ถ้า $k_{1}$ และ $k_{2}$ เป็นจำนวนจริงที่ทำให้เวกเตอร์ $k_{1} O P_{1} + k_{2} O P_{2} = [\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix}]$

แล้วผลคูณของ $k_{1}$ และ $k_{2}$ เท่ากับเท่าใด

1
$- 1$
2
$- \frac{1}{9}$
3
$\frac{1}{9}$
4
$1$
5
$9$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ O P_{1} = [\begin{matrix} 6 \\ - 6 \\ 3 \end{matrix}], O P_{2} = [\begin{matrix} - 6 \\ 3 \\ 6 \end{matrix}] k_{1} O P_{1} + k_{2} O P_{2} = [\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix}]$

$จะได้ k_{1} [\begin{matrix} 6 \\ - 6 \\ 3 \end{matrix}] + k_{2} [\begin{matrix} - 6 \\ 3 \\ 6 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix}] [\begin{matrix} 6 k_{1} \\ - 6 k_{1} \\ 3 k_{1} \end{matrix}] + [\begin{matrix} - 6 k_{2} \\ 3 k_{2} \\ 6 k_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix}] [\begin{matrix} 6 k_{1} - 6 k_{2} \\ - 6 k_{1} + 3 k_{2} \\ 3 k_{1} + 6 k_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 0 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix}]$

$จะได้ 6 k_{1} - 6 k_{2} = 0 และ - 6 k_{1} + 3 k_{2} = - 1 และ 3 k_{1} + 6 k_{2} = 3 k_{1} = k_{2} \to - 6 k_{1} + 3 k_{2} = - 1 - 3 k_{2} = - 1 k_{2} = \frac{1}{3} ∴ k_{1} = k_{2} = \frac{1}{3}$