ข้อสอบ PAT 1 - เมษายน 2557

ข้อ 35

ให้ $ℝ$ แทนเซตของจำนวนจริง และ $a$ เป็นจำนวนจริงโดยที่ $a \neq 0$ ให้ $𝑓 : ℝ \to ℝ$ และ $𝑔 : ℝ \to ℝ$ เป็นฟังก์ชันที่นิยามโดย $𝑓 (x) = a x + 2$ และ $𝑔 (x) = x^{3} - 3 x (x - 1)$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ ถ้า $(𝑓^{- 1} \circ 𝑔^{- 1}) (1) = 1$ แล้ว $(𝑔 \circ 𝑓) (a)$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$หา f^{- 1} (x) จากโจทย์ f (x) = ax + 2 y = ax + 2 - เปลี่ยน x เป็น y และ เปลี่ยน y เป็น x จะได้ x = ay + 2 y = \frac{x - 2}{a} f^{- 1} (x) = \frac{x - 2}{a} \to 1$

$หา g^{- 1} (x) จากโจทย์ g (x) = x^{3} - 3 x (x - 1) \to 2 y = x^{^{3}} - 3 x^{2} + 3 x - 1 ทั้ง 2 ข้าง; y - 1 = x^{^{3}} - 3 x^{2} + 3 x - 1 y - 1 = {(x - 1)}^{3} \sqrt[3]{y - 1} = x - 1 x = \sqrt[3]{y - 1} + 1$
$- เปลี่ยน x เป็น y และ เปลี่ยน y เป็น x จะได้ y = \sqrt[3]{x - 1} + 1 g^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 1} + 1 แทน x = 1; g^{- 1} (1) = \sqrt[3]{1 - 1} + 1 = 1$

$จากโจทย์ (f^{- 1} \circ g^{- 1}) (1) = 1 f^{- 1} (g^{- 1} (1)) = 1 โดย g^{- 1} (1) = 1; f^{- 1} (1) = 1 จาก 1 จะได้ \frac{1 - 2}{a} = 1 a = - 1 แทนใน f (x) จะได้ f (x) = - x + 2 แทน x = - 1 f (- 1) = - (- 1) + 2 = 3$