ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2559

ข้อ 1

กำหนดให้ $p$ และ $q$ เป็นประพจน์ใดๆ พิจารณาประพจน์ต่อไปนี้
(ก) $p \to [(p \to q) \to q]$ เป็นสัจนิรันดร์
(ข) $p \leftrightarrow [(p \land (q \to p)) \to q]$ ไม่เป็นสัจนิรันดร์
(ค) ถ้า $(p \to q) \land (q \to p)$ มีค่าความจริงเป็นจริง
แล้ว $[p \to (p \to q)] \to (p \land q)$ มีค่าความจริงเป็นเท็จ
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ ข้อ (ค) ผิด
2
ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ข) ผิด
3
ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ก) ผิด
4
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ

เฉลยข้อสอบ

$สมมติให้ประพจน์เป็น F ถ้าเกิดการขัดแย้ง (ประพจน์ใดประพจน์หนึ่ง) แสดงว่าเป็นสัจนิรันดร์ (ก) p \to [(p \to q) \to q] F; ให้ประพจน์เป็น F T \to F; จะได้ p \equiv T, (p \to q) \to q \equiv F T \to F; จะได้ p \to q \equiv T, q \equiv F$

$ถ้า p \equiv T, q \equiv F จะได้ p \to q \equiv F ดังนั้น ขัดแย้งกับข้างต้น แสดงว่า p \to [(p \to q) \to q] เป็นสัจนิรันดร์ ข้อ (ก) ถูก$

$(ข) p \leftrightarrow [(p \land (q \to p)) \to q] F; ให้ประพจน์เป็น F T \to F; จะได้ p \equiv T, (p \land (q \to p)) \to q \equiv F T \to F; จะได้ p \land (q \to p) \equiv T, q \equiv F ถ้า p \equiv T, q \equiv F จะได้ p \land (q \to p) \equiv T \land (F \to T) \equiv T \land T \equiv T$

$ดังนั้น สอดคล้องกับข้างต้น (ไม่ขัดแย้ง) แสดงว่า p \leftrightarrow [(p \land (q \to p)) \to q] ไม่เป็นสัจนิรันดร์ ข้อ (ข) ถูก$

$(ค) ถ้า (p \to q) \land (q \to p) มีค่าความจริงเป็น จริง จะได้ (p \to q) \land (q \to p) \equiv T; โดย (p \to q) \land (q \to p) \equiv p \leftrightarrow q p \leftrightarrow q \equiv T; T \leftrightarrow T \equiv T, F \leftrightarrow F \equiv T ดังนั้น p และ q เป็นจริงทั้งคู่ หรือเป็นเท็จทั้งคู่$

$กำหนดให้ p, q \equiv T จะได้ [p \to (p \to q)] \to (p \land q) \equiv [T \to (T \to T)] \to (T \land T) \equiv (T \land T) \to T \equiv T \to T \equiv T แสดงว่า [p \to (p \to q)] \to (p \land q) \equiv T ข้อ (ค) ผิด$