ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2555 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 26

ถ้า $A = [\begin{matrix} a & 1 - a \\ 1 + a & - a \end{matrix}]$ เมื่อ a เป็นจำนวนจริงและ $I = [\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}]$ แล้ว $d e t (A - \sqrt{2} I) (A - \sqrt{3} I) (A - \sqrt{5} I) (A - \sqrt{7} I)$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$48 - 13 a$
2
$(a - \sqrt{2}) (a - \sqrt{3}) (a - \sqrt{5}) (a - \sqrt{7})$
3
$17 a$
4
$17$
5
$48$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากสูตร \det (A \cdot B) = \det A \cdot detB = |A| \cdot |B| จากโจทย์ \det (A - \sqrt{2} I) (A - \sqrt{3} I) (A - \sqrt{5} I) (A - \sqrt{7} I) = |A - \sqrt{2} I| |A - \sqrt{3} I| |A - \sqrt{5} I| |A - \sqrt{7} I| \to 1 หา A - \sqrt{2} I A - \sqrt{2} I = [\begin{matrix} a & 1 - a \\ 1 + a & - a \end{matrix}] - [\begin{matrix} \sqrt{2} & 0 \\ 0 & \sqrt{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a - \sqrt{2} & 1 - a \\ 1 + a & - a - \sqrt{2} \end{matrix}]$

$จะได้ |A - \sqrt{2} I| = (a - \sqrt{2}) (- a - \sqrt{2}) - (1 + a) (1 - a) = (- \sqrt{2} + a) (- \sqrt{2} - a) - (1 + a) (1 - a) = [{(- \sqrt{2})}^{2} - a^{2}] - (1^{2} - a^{2}) = 1; แทนใน 1 หา A - \sqrt{3} I A - \sqrt{3} I = [\begin{matrix} a & 1 - a \\ 1 + a & - a \end{matrix}] - [\begin{matrix} \sqrt{3} & 0 \\ 0 & \sqrt{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a - \sqrt{3} & 1 - a \\ 1 + a & - a - \sqrt{3} \end{matrix}]$

$จะได้ |A - \sqrt{3} I| = (a - \sqrt{3}) (- a - \sqrt{3}) - (1 + a) (1 - a) = (- \sqrt{3} + a) (- \sqrt{3} - a) - (1 + a) (1 - a) = [{(- \sqrt{3})}^{2} - a^{2}] - (1^{2} - a^{2}) = (3 - a^{2}) - (1 - a^{2}) = 2; แทนใน 1$

$แสดงว่า |A - \sqrt{5} I| = (5 - a^{2}) - (1 - a^{2}) = 4; แทนใน 1 |A - \sqrt{7} I| = (7 - a^{2}) - (1 - a^{2}) = 6; แทนใน 1 จาก 1 จะได้ \det (A - \sqrt{2} I) (A - \sqrt{3} I) (A - \sqrt{5} I) (A - \sqrt{7} I) = 1 (2) (4) (6) = 48$

ข้อถัดไป