ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2555 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 30

กำหนดให้ $M = \{[\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] a, b, c, d \in \{- 1, 0, 1\}\}$

ถ้าสุ่มเลือกเมทริกซ์หนึ่งเมทริกซ์จากเซต $M$ แล้ว ความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์ที่มีอินเวอร์สการคูณมีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{24}{81}$
2
$\frac{31}{81}$
3
$\frac{33}{81}$
4
$\frac{48}{81}$
5
$\frac{50}{81}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ สุ่มเลือกเมทริกซ์หนึ่งเมทริกซ์จากเซต M จะได้ n (S) = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81 วิธี จากโจทย์ ความน่าจะเป็นที่จะได้เมทริกซ์ที่มีอินเวอร์สการคูณ หา n (E) ที่จะได้เมทริกซ์ที่มีอินเวอร์สการคุณ จากสูตร อินเวอร์สการคูณ A^{- 1} = \frac{1}{\det A} adj A M^{- 1} = \frac{1}{\det M} adj M แสดงว่า เมทริกซ์ที่มีอินเวอร์สการคูณ ต้องมี \det M \neq 0$

$จากโจทย์ M = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] จะได้ \det M = ad - bc ถ้า \det M = 0 \to ad - bc = 0 ad = bc จะได้ เมทริกซ์ที่ ไม่มี อินเวอร์สการคูณ$

$กรณี 1 ad = bc = - 1 จะได้ แต่ละคู่เป็น - 1, 1 หรือ 1, - 1 เป็น 2 วิธี รวม 2 \times 2 = 4 วิธี กรณี 2 ad = bc = 0 จะได้ แต่ละคู่เป็น 0, 0 หรือ 0, - 1 หรือ 0, 1 หรือ - 1, 0 หรือ 1, 0 เป็น 5 วิธี รวม 5 \times 5 = 25 วิธ$

$กรณี 3 ad = bc = 1 จะได้ แต่ละคู่เป็น 1, 1 หรือ - 1, - 1 เป็น 2 วิธี รวม 2 \times 2 = 4 วิธี$

$ดังนั้น เมทริกซ์ที่ ไม่มี อินเวอร์สการคูณ = 4 + 25 + 4 = 33 วิธี โดย เมทริกซ์ที่มีอินเวอร์ส = ทั้งหมด - เมทริกซ์ที่ ไม่มี อินเวอร์ส n (E) = 81 - 33 n (E) = 48 จากสูตร P (E) = \frac{n (E)}{n (S)} = \frac{48}{81} ดังนั้น ความน่าจะเป็นเท่ากับ \frac{48}{81}$