ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2555 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 7

ในการกระจาย $(x^{2} + \frac{2}{x^{3}})^{10}$ โดยใช้ทฤษฎีบททวินาม จะได้ว่าพจน์ค่าคงตัวมีค่าเท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$สูตรทฤษฎีบททวินาม - {(a + b)}^{n} = a^{n} + (\begin{matrix} n \\ 1 \end{matrix}) a^{n - 1} b + (\begin{matrix} n \\ 2 \end{matrix}) a^{n - 2} b^{2} + . . . + b^{n} - พจน์ที่ r + 1 = T_{r + 1} = (\begin{matrix} n \\ r \end{matrix}) a^{n - r} b^{r}$

$จากโจทย์ {(x^{2} + \frac{2}{x^{3}})}^{10} กำหนดให้ n = 10, a = x^{2}, b = \frac{2}{x^{3}} จะได้ T_{r + 1} = (\begin{matrix} 10 \\ r \end{matrix}) {(x^{2})}^{10 - r} {(\frac{2}{x^{3}})}^{r} = (\begin{matrix} 10 \\ r \end{matrix}) x^{20 - 2 r} \cdot \frac{2^{r}}{x^{3 r}} = 2^{r} \cdot (\begin{matrix} 10 \\ r \end{matrix}) \cdot \frac{x^{20 - 2 r}}{x^{3 r}} \to 1$

$จากโจทย์ ในการกระจายจะได้ว่าพจน์ค่าคงตัว จาก 1 T_{r + 1} = 2^{r} \cdot (\begin{matrix} 10 \\ r \end{matrix}) \cdot \frac{x^{20 - 2 r}}{x^{3 r}} แสดงว่า 20 - 2 r = 3 r 20 = 5 r r = 4; แทนใน 1$

$จะได้ T_{r + 1} = 2^{4} \cdot (\begin{matrix} 10 \\ 4 \end{matrix}) = 16 \cdot \frac{10!}{6! \cdot 4!} = 16 \cdot \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!}{6! \cdot 4!} = 16 (210) = 3360 ดังนั้น พจน์ค่าคงตัวมีค่าเท่ากับ 3360$

ข้อถัดไป