ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2556 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 16

กำหนดให้ $α, β \in [- π, 0]$ ถ้า $\sin α + \sin β = - \frac{2}{3}$ และ $\cos α + \cos β = \frac{2}{\sqrt{3}}$ แล้ว $α + β$ มีค่าเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$- \frac{π}{6}$
2
$- \frac{π}{3}$
3
$- \frac{2 π}{3}$
4
$- \frac{4 π}{3}$
5
$- \frac{5 π}{3}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$สูตรตรีโกณมิติ \sin A + \sin B = 2 \sin (\frac{A + B}{2}) \cos (\frac{A - B}{2}) \to 1 \cos A + \cos B = 2 \cos (\frac{A + B}{2}) \cos (\frac{A - B}{2}) \to 2 จากโจทย์ \sin α + \sin β = - \frac{2}{3} จาก 1 จะได้ 2 \sin (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2}) = - \frac{2}{3} \to 3$

$จากโจทย์ \cos α + \cos β = \frac{2}{\sqrt{3}} จาก 2 จะได้ 2 \cos (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2}) = \frac{2}{\sqrt{3}} \to 4 จาก 3 และ 4 มี \cos (\frac{α - β}{2}) เหมือนกัน$

$นำ \frac{3}{4} จะได้ \frac{2 \sin (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2})}{2 \cos (\frac{α + β}{2}) \cos (\frac{α - β}{2})} = \frac{- \frac{2}{3}}{\frac{2}{\sqrt{3}}} \frac{2 \sin (\frac{α + β}{2})}{2 \cos (\frac{α + β}{2})} = - \frac{2}{3} (\frac{\sqrt{3}}{2}) \tan (\frac{α + β}{2}) = - \frac{\sqrt{3}}{3}$

$โดย \frac{\sqrt{3}}{3} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{3}{3 \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} ดังนั้น \tan (\frac{α + β}{2}) = - \frac{1}{\sqrt{3}} \to a$

$จากโจทย์ α, β \in [- π, 0] แสดงว่า - π \leq α \leq 0 และ - π \leq β \leq 0 - π + (- π) \leq α + β \leq 0 + 0 - 2 π \leq α + β \leq 0 - \frac{2 π}{2} \leq \frac{α + β}{2} \leq \frac{0}{2} - π \leq \frac{α + β}{2} \leq 0 อยู่ในจตุภาคที่ 3 หรือ 4 (Q_{3} หรือ Q_{4})$

$จาก a \tan (\frac{α + β}{2}) = - \frac{1}{\sqrt{3}} ค่า \tan ติดลบ ต้องอยู่จตุภาคที่ 2 หรือ 4 (Q_{2} หรือ Q_{4}) แสดงว่า \tan (\frac{α + β}{2}) = - \frac{1}{\sqrt{3}} อยู่ Q_{4} เท่านั้น โดย \tan \frac{π}{6} = \frac{1}{\sqrt{3}} และ \tan (- θ) = - \tan θ$

$จะได้ \tan (- \frac{π}{6}) = - \tan \frac{π}{6} = - \frac{1}{\sqrt{3}} ดังนั้น \frac{α + β}{2} = - \frac{π}{6}; คูณ 2 ทั้ง 2 ข้าง 2 (\frac{α + β}{2}) = 2 (- \frac{π}{6}) α + β = - \frac{π}{3}$