ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2558 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 24

กำหนดให้ $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}$ เป็นลำดับเลขคณิต โดยที่ $a_{1} = 4, a_{2} = 7, a_{n} = 121$ ถ้า $f (x) = (x + a_{1} x) + (x^{2} + a_{2} x) + \dots + (x^{n} + a_{n} x)$ แล้ว $f' (- 1)$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$2400$
2
$2420$
3
$2440$
4
$2460$
5
$2480$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n} เป็นลำดับเลขคณิต โดยที่ a_{1} = 4, a_{2} = 7, a_{n} = 121 จะได้ a_{n} = a_{1} + (n - 1) d; d = a_{2} - a_{1} 121 = 4 + (n - 1) (3) 117 = (n - 1) (3) n - 1 = 39 n = 40 \to a_{40} = 121$

$จากโจทย์ f (x) = (x + a_{1} x) + (x^{2} + a_{2} x) + \dots + (x^{n} + a_{n} x) แทน n = 40 จะได้ 𝑓 (x) = (x + a_{1} x) + (x^{2} + a_{2} x) + \dots + (x^{40} + a_{40} x); จัดรูป = x + (a_{1} + a_{2} + . . . + a_{40}) x + x^{2} + x^{3} + \dots + x^{40}; ดิฟ 2 ข้าง 𝑓' (x) = 1 + (a_{1} + a_{2} + . . . + a_{40}) + 2 x + 3 x^{2} + \dots + 40 x^{39} \to 1$

$- หาค่า a_{1} + a_{2} + . . . + a_{40} สูตรลำดับเลขคณิต S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{40}) S_{n} = \frac{40}{2} (4 + 121) = 2500$
$โดย S_{40} = a_{1} + a_{2} + . . . + a_{40} a_{1} + a_{2} + . . . + a_{40} = 20 (125) a_{1} + a_{2} + . . . + a_{40} = 2500; แทนใน 1 จาก 1 จะได้ 𝑓' (x) = 1 + 2500 + 2 x + 3 x^{2} + \dots + 40 x^{39} แทน x = - 1$

$𝑓' (- 1) = 1 + 2500 + 2 (- 1) + 3 {(- 1)}^{2} + 4 {(- 1)}^{3} + \dots + 40 {(- 1)}^{39} = 1 + 2500 - 2 + 3 - 4 . . . - 40; จัดรูป = 2500 + (1 - 2 + 3 - 4 + . . . - 40) = 2500 + (1 + 3 + . . . + 39) + (- 2 - 4 - . . . - 40) \to 2$

$- หาค่า 1 + 3 + . . . + 39 \to มี 20 พจน์ สูตรลำดับเลขคณิต S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}) = \frac{20}{2} (1 + 39) = 400; แทนใน 2$

$- หาค่า - 2 - 4 - . . . - 40 \to มี 20 พจน์ สูตรลำดับเลขคณิต S_{n} = \frac{n}{2} (a_{1} + a_{n}) = \frac{20}{2} (- 2 - 40) = - 420; แทนใน 2 จาก 2 จะได้ 𝑓' (- 1) = 2500 + 400 + (- 420) 𝑓' (- 1) = 2480$