ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2558 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 9

กำหนดให้ $f (x) = x^{3} + 3 a x^{2} - 9 a^{2} x + 5 a$ เมื่อ $a$ เป็นจำนวนจริงบวก ถ้า $f$ มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับ $0$ แล้ว $a$ มีค่าเท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ f (x) = x^{3} + 3 {ax}^{2} - 9 a^{2} x + 5 a \to 1; ดิฟทั้ง 2 ข้าง จะได้ 𝑓' (x) = 3 x^{2} + 6 ax - 9 a^{2} \to 2 - หาค่าวิกฤต แทน 𝑓' (x) = 0 จะได้ 3 x^{2} + 6 ax - 9 a^{2} = 0 3 (x^{2} + 2 ax - 3 a^{2}) = 0 x^{2} + 2 ax - 3 a^{2} = 0 (x + 3 a) (x - a) = 0 จะได้ x + 3 a = 0 หรือ x - a = 0 x = - 3 a x = a$

$จาก 2 𝑓' (x) = 3 x^{2} + 6 ax - 9 a^{2}; ดิฟทั้ง 2 ข้าง จะได้ 𝑓'' (x) = 6 x + 6 a - แทน x = a (ค่าวิกฤตของ f) จะได้ 𝑓'' (a) = 6 a + 6 a 𝑓'' (a) = 12 a; จากโจทย์ a เป็นจำนวนจริงบวก แสดงว่า 𝑓'' (a) > 0 ดังนั้น x = a ให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์$

$จากโจทย์ f มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับ 0 แสดงว่า 𝑓 (a) = 0 จาก 1 𝑓 (x) = x^{3} + 3 {ax}^{2} - 9 a^{2} x + 5 a$

$แทน x = a จะได้ 𝑓 (a) = a^{3} + 3 a {(a)}^{2} - 9 a^{2} (a) + 5 a = 0 a^{3} + 3 a^{3} - 9 a^{3} + 5 a = 0 - 5 a^{3} + 5 a = 0 - 5 a (a^{2} - 1) = 0 a (a - 1) (a + 1) = 0 a = 0, 1, - 1 โดย a เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้น a = 1$

ข้อถัดไป