ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2558 (วิชาสามัญเก่า)

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{ax}}^2-9{\mathrm{a}}^2\mathrm{x}+5\mathrm{a}\to \boxed{1} ; \mathrm{ดิฟทั้ง} 2 \mathrm{ข้าง} \\ \mathrm{จะได้} 𝑓\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=3{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{ax}-9{\mathrm{a}}^2\to \boxed{2} \\ -\mathrm{หาค่าวิกฤต} \mathrm{แทน} 𝑓\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=0 \\ \mathrm{จะได้} 3{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{ax}-9{\mathrm{a}}^2 =0 \\ 3\left({\mathrm{x}}^2+2\mathrm{ax}-3{\mathrm{a}}^2\right)=0 \\ {\mathrm{x}}^2+2\mathrm{ax}-3{\mathrm{a}}^2=0 \\ \left(\mathrm{x}+3\mathrm{a}\right)\left(\mathrm{x}-\mathrm{a}\right)=0 \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{x}+3\mathrm{a}=0 \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{หรือ} \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{x}-\mathrm{a}=0 \\ \mathrm{x}=-3\mathrm{a} \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{x}=\mathrm{a} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จาก} \boxed{2} 𝑓\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=3{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{ax}-9{\mathrm{a}}^2 ; \mathrm{ดิฟทั้ง} 2 \mathrm{ข้าง} \\ \mathrm{จะได้} 𝑓\text{'}\text{'}\left(\mathrm{x}\right)=6\mathrm{x}+6\mathrm{a} \\ -\mathrm{แทน} \mathrm{x}=\mathrm{a} (\mathrm{ค่าวิกฤตของ} \mathrm{f}) \\ \mathrm{จะได้} 𝑓\text{'}\text{'}\left(a\right)=6a+6\mathrm{a} \\ 𝑓\text{'}\text{'}\left(a\right)=12a ; \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{a} \mathrm{เป็นจำนวนจริงบวก} \\ \mathrm{แสดงว่า} 𝑓\text{'}\text{'}\left(a\right)>0 \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{x}=\mathrm{a} \mathrm{ให้ค่าต่ำสุดสัมพัทธ์} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{f} \mathrm{มีค่าต่ำสุดสัมพัทธ์เท่ากับ} 0 \\ \mathrm{แสดงว่า} 𝑓\left(\mathrm{a}\right)=0 \\ \mathrm{จาก} \boxed{1} 𝑓\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^3+3{\mathrm{ax}}^2-9{\mathrm{a}}^2\mathrm{x}+5\mathrm{a} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{แทน} \mathrm{x}=\mathrm{a} \mathrm{จะได้} 𝑓\left(\mathrm{a}\right)={\mathrm{a}}^3+3\mathrm{a}{\left(\mathrm{a}\right)}^2-9{\mathrm{a}}^2\left(\mathrm{a}\right)+5\mathrm{a}=0 \\ {\mathrm{a}}^3+3{\mathrm{a}}^3-9{\mathrm{a}}^3+5\mathrm{a}=0 \\ -5{\mathrm{a}}^3+5\mathrm{a}=0 \\ -5\mathrm{a}\left({\mathrm{a}}^2-1\right)=0 \\ \mathrm{a}\left(\mathrm{a}-1\right)\left(\mathrm{a}+1\right)=0 \\ \mathrm{a}=0,1,-1 \\ \mathrm{โดย} \mathrm{a} \mathrm{เป็นจำนวนจริงบวก} \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{a}=1 \end{gathered}$$