ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2560 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 12

ให้ $A = {x x$ เป็นจำนวนเต็มที่อยู่ในช่วง $[- 10, 10]}$

$B = \{x (x + 5) (|x| - 5) \geq - 9\}$

จำนวนสมาชิกของ $A \cap B$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$7$
2
$14$
3
$16$
4
$18$
5
$21$

เฉลยข้อสอบ

$นิยาม |x| = \{\begin{cases} x & เมื่อ x \geq 0 \\ - x & เมื่อ x < 0 \end{cases} จากโจทย์ B = \{x (x + 5) (|x| - 5) \geq - 9\} (x + 5) (|x| - 5) \geq - 9 \to 1 แบ่งได้เป็น 2 กรณี คือ กรณีที่ 1 |x| = x เมื่อ x \geq 0$

$จาก 1 (x + 5) (|x| - 5) \geq - 9; แทน |x| = x จะได้ (x + 5) (x - 5) \geq - 9 x^{2} - 5 x + 5 x - 25 \geq - 9 x^{2} - 16 \geq 0 (x - 4) (x + 4) \geq 0$

$x = (- \infty, - 4] \cup [4, \infty) แต่เงื่อนไข x \geq 0 ดังนั้น คำตอบคือ [4, \infty) กรณีที่ 2 |x| = - x เมื่อ x < 0 จาก 1 (x + 5) (|x| - 5) \geq - 9; แทน |x| = - x จะได้ (x + 5) (- x - 5) \geq - 9$
$- (x + 5) (x + 5) \geq - 9 ย้ายลบไปหาร เครื่องหมายอสมการเปลี่ยน; (x + 5) (x + 5) \leq 9 x^{2} + 5 x + 5 x + 25 \leq 9 x^{2} + 10 x + 16 \leq 0 (x + 8) (x + 2) \leq 0$

$[- 8, - 2] สอดคล้องกับเงื่อนไข x < 0 ดังนั้น คำตอบคือ [- 8, - 2] จากกรณีที่ 1 และกรณีที่ 2 จะได้ จะได้ B = [- 8, - 2] \cup [4, \infty] จากโจทย์ A = \{x x เป็นจำนวนเต็มที่อยู่ในช่วง [- 10, 10]\} แสดงว่า A = \{- 10, - 9, - 8, . . ., 8, 9, 10\} มีสมาชิก 21 ตัว$

$หาจำนวนสมาชิกของ A \cap B A \cap B = [- 8, - 2] \cup [4, 10] = 7 ตัว + 7 ตัว = 14 ตัว ดังนั้น จำนวนสมาชิก A \cap B เท่ากับ 14$