ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2560 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 26

กำหนดให้ $a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . ., a_{n}, . . .$ เป็นอนุกรมเรขาคณิต ถ้า $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = \frac{211}{9}$

และ $\sum_{i = 1}^{\infty} a_{i} = 27$ แล้วจำนวนจริง $x$ ซึ่งทำให้ $\sum_{i = 1}^{11} |a_{i} - x|$ มีค่าน้อยที่สุด เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{64}{81}$
2
$1$
3
$\frac{16}{9}$
4
$\frac{32}{27}$
5
$\frac{64}{27}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$นิยาม \sum |x_{i} - m e d| มีค่าน้อยที่สุด เมื่อ m e d = มัธยฐาน จากโจทย์ a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n} เป็นอนุกรมเรขาคณิต และ \sum_{i = 1}^{\infty} a_{i} = 27$

$สูตร S_{\infty} = \sum_{i = 1}^{\infty} a_{i} = \frac{a_{1}}{1 - r} เมื่อ |r| < 1 27 = \frac{a_{1}}{1 - r} a_{1} = 27 (1 - r) \to 1 จากโจทย์ a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} + a_{5} = \frac{211}{9}$

$สูตร S_{n} = \frac{a_{1} (1 - r^{n})}{1 - r} เมื่อ |r| < 1 จะได้ \frac{a_{1} (1 - r^{5})}{1 - r} = \frac{211}{9} จาก 1 แทน a_{1} = 27 (1 - r); 27 (1 - r) \frac{(1 - r^{5})}{1 - r} = \frac{211}{9} 27 (1 - r^{5}) = \frac{211}{9} 1 - r^{5} = \frac{211}{9 (27)} r^{5} = \frac{32}{243} = \frac{2^{5}}{3^{5}} = {(\frac{2}{3})}^{5} r = \frac{2}{3}; แทนใน 1$

$จาก 1 จะได้ a_{1} = 27 (1 - \frac{2}{3}) a_{1} = 9 จากโจทย์ จำนวนจริง x ซึ่งทำให้ \sum_{i = 1}^{11} |a_{i} - x| มีค่าน้อยที่สุด แสดงว่า x = m e d (มัธยฐาน)$

$หา m e d ของ a_{1}, a_{2}, \dots, a_{11} - ตำแหน่ง m e d = \frac{N + 1}{2} = \frac{11 + 1}{2} = 6 จะได้ m e d = a_{6}; โดย a_{n} = a_{1} r^{n - 1} = a_{1} r^{5} = 9 {(\frac{2}{3})}^{5} = \frac{2^{5}}{3^{3}} = \frac{32}{27} ดังนั้น x = m e d = \frac{32}{27}$