ข้อสอบ A-Level คณิตประยุกต์ 1 ปี 2562 (วิชาสามัญเก่า)

ข้อ 30

กำหนดให้ $S = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ถ้าสุ่มหยิบสมาชิก $4$ ตัวพร้อมกันจาก $S$ เพื่อนำมาสร้างเมทริกซ์มิติ $2 \times 2$

แล้วความน่าจะเป็นที่เมทริกซ์นั้นเป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐานเท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{2}{3}$
2
$\frac{11}{15}$
3
$\frac{4}{5}$
4
$\frac{13}{15}$
5
$\frac{14}{15}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ S = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\} - สุ่มหยิบสมาชิก 4 ตัวจาก S เพื่อสร้างเมทริกซ์ 2 \times 2 กำหนดให้ A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}]$

$หา n (S) - เลือก a จาก S ได้ 5 วิธี - เลือก b จาก S ได้ 4 วิธี (ไม่ซ้ำ a) - เลือก c จาก S ได้ 3 วิธี (ไม่ซ้ำ a, b) - เลือก d จาก S ได้ 2 วิธี (ไม่ซ้ำ a, b, c) ดังนั้น n (S) = 5 \times 4 \times 3 \times 2 n (S) = 120 วิธี$

$จากโจทย์ เมทริกซ์นั้นเป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน จะได้ A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน แสดงว่า a d - b c \neq 0 จะได้ n (E) = จำนวนวิธีที่เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน$

$ถ้า A = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] เป็นเมทริกซ์เอกฐาน แสดงว่า a d - b c = 0 a d = b c \to 1 จะได้ n (E') = จำนวนวิธีที่เป็นเมทริกซ์เอกฐาน โดย n (E) = n (S) - n (E') \to 2$

$หา n (E') จาก 1 a d = b c จะได้ 2 กลุ่ม คือ (- 2) (- 1) = (2) (1) หรือ (- 2) (1) = (2) (- 1) - เลือกกลุ่มได้ 2 วิธี$

$- แต่ละกุล่ม มีตัวเลข 4 ตัว (- 2, - 1, 1, 2) a เลือกได้ 4 วิธี (ส่วน d เลือกไม่ได้ เพราะเป็นตัวเลขที่คูณกับ a) - เหลือ ตัวเลข 2 ตัว b เลือกได้ 2 วิธี (ส่วน c เลือกไม่ได้ เพราะเป็นตัวเลขที่คูณกับ b) ดังนั้น n (E') = 2 \times 4 \times 2 n (E') = 16 วิธี$

$จาก 2 n (E) = n (S) - n (E') n (E) = 120 - 16 n (E) = 104$

$ความน่าจะเป็นที่เป็นเมทริกซ์ไม่เอกฐาน P (E) = \frac{n (E)}{n (S)} = \frac{104}{120} = \frac{13}{15}$

สิ้นสุดแบบฝึกหัด