ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2561

ข้อ 34

ถ้า $A$ เป็นเซตของคู่อันดับ $(x, y)$ โดยที่ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนจริงบวกที่สอดคล้องกับสมการ

$2^{x} \log_{5} y = 4 \log_{25} 5 + 4^{x} 2^{x} \log_{5} y^{3} = {(\log_{5} y)}^{2} + 9$

และให้ $B = \{x y | (x, y) \in A\}$ ค่ามากที่สุดของสมาชิกในเซต $B$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ 2^{x} \log_{5} y = 4 \log_{25} 5 + 4^{x} จะได้ 2^{x} \log_{5} y = 4 \log_{5^{2}} 5 + {(2^{2})}^{x} 2^{x} \log_{5} y = 4 (\frac{1}{2}) \log_{5} 5 + {(2^{x})}^{2} 2^{x} \log_{5} y = 2 + {(2^{x})}^{2}$

$กำหนดให้ 2^{x} = a และ \log_{5} y = b จะได้ ab = 2 + a^{2} b = \frac{2}{a} + a \to 1$

$จากโจทย์ 2^{x} \log_{5} y^{3} = {(\log_{5} y)}^{2} + 9 จะได้ 2^{x} (3 \log_{5} y) = {(\log_{5} y)}^{2} + 9 - แทนค่า a, b จะได้ a (3 b) = b^{2} + 9 3 ab = b^{2} + 9; โดย b = \frac{2}{a} + a$

$3 a (\frac{2}{a} + a) = (\frac{2}{a} + a)^{2} + 9 6 + 3 a^{2} = (\frac{4}{a^{2}} + 4 + a^{2}) + 9 3 a^{2} = \frac{4}{a^{2}} + a^{2} + 7 2 a^{4} - 7 a^{2} - 4 = 0 (2 a^{2} + 1) (a^{2} - 4) = 0 (2 a^{2} + 1) (a + 2) (a - 2) = 0$

$จะได้ 2 a^{2} + 1 = 0 หรือ a + 2 = 0 หรือ a - 2 = 0 a^{2} = - \frac{1}{2} a = - 2 a = 2 เป็นไปไม่ได้ 2^{x} = - 2 2^{x} = 2 เป็นไปไม่ได้ x = 1$

$แสดงว่า a = 2, x = 1 - แทน a = 2 ใน 1 จะได้ b = \frac{2}{2} + 2 b = 3 \log_{5} y = 3 y = 5^{3} y = 125$

$จากโจทย์ A เป็นเซตของคู่อันดับ (x, y) จะได้ (x, y) = (1, 125) จากโจทย์ B = \{xy | (x, y) \in A\} จะได้ B = \{1 (125)\} B = \{125\} ดังนั้น ค่ามากที่สุดของสมาชิกในเซต B เท่ากับ 125$