ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2562

ข้อ 16

กำหนดให้ $H$ เป็นไฮเพอร์โบลา ซึ่งมีสมการเป็น $x^{2} - 3 y^{2} - 3 = 0$ และให้ $F$ เป็นโฟกัสของไฮเพอร์โบลา $H$ ที่อยู่ทางขวาของจุด $(0, 0)$ ให้ $E$ เป็นวงรีที่มีจุดยอดอยู่ที่ $(0, 0)$ และโฟกัสอยู่ที่ $F$ โดยที่จุด $(0, 0)$ และจุด $F$ อยู่ทางซ้ายของจุดศูนย์กลางของวงรี $E$ ถ้าผลต่างของความยาวแกนเอกและความยาวแกนโท เท่ากับ $2$ แล้วความเยื้องศูนย์กลางของวงรี $E$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1
$0.2$
2
$0.3$
3
$0.4$
4
$0.5$
5
$0.6$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$สูตรไฮเพอร์โบลา \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 c^{2} = a^{2} + b^{2} \frac{}{}$

$จากโจทย์ H เป็นไฮเพอร์โบลา มีสมการเป็น x^{2} - 3 y^{2} - 3 = 0 จะได้ x^{2} - 3 y^{2} = 3 \frac{x^{2}}{3} - \frac{y^{2}}{1} = 1 แสดงว่า a^{2} = 3, b^{2} = 1$

$จาก c^{2} = a^{2} + b^{2} c^{2} = 3 + 1 c = 2 จะได้ จุดโฟกัสคือ (2, 0), (- 2, 0)$

$จากโจทย์ F เป็นโฟกัสของไฮเพอร์โบลา H ที่อยู่ทางขวาของจุด (0, 0) แสดงว่า F (2, 0) จากโจทย์ E เป็นวงรีที่มีจุดยอดอยู่ที่ (0, 0) และโฟกัสอยู่ที่ F - วาดรูปวงรี$

$แสดงว่า a = c + 2 c = a - 2 \to 1$

$จากโจทย์ ผลต่างของความยาวแกนเอก และความยาวแกนโทเท่ากับ 2 จะได้ 2 a - 2 b = 2 a - b = 1 b = a - 1 \to 2$

$สูตรวงรี c^{2} = a^{2} - b^{2} - จาก 1, 2 จะได้ {(a - 2)}^{2} = a^{2} - {(a - 1)}^{2} a^{2} - 4 a + 4 = a^{2} - (a^{2} - 2 a + 1) a^{2} - 6 a + 5 = 0 (a - 1) (a - 5) = 0 a = 1, 5$

$- แต่ a = 1 ทำให้ c ติดลบ แสดงว่า a = 5; แทนใน 1 c = 5 - 2 c = 3 ดังนั้น ความเยื้องศูนย์กลางของวงรี = \frac{c}{a} = \frac{3}{5} = 0.6$

ข้อถัดไป