ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2562

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \mathrm{ผู้ชาย} 10 \mathrm{คน} \mathrm{ผู้หญิง} 7 \mathrm{คน} \\ \mathrm{โดยมีนาย} ก. \mathrm{และนาย} ข. \\ \mathrm{แสดงว่า} ช 10 , ญ 7 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \\ - \mathrm{เลือกคณะกรรมการ} 6 \mathrm{คน} \mathrm{ประกอบด้วย} \\ ช \mathrm{อย่างน้อย} 2 \mathrm{คน} \mathrm{และ} ญ \mathrm{อย่างน้อย} 3 \mathrm{คน} \\ \mathrm{แสดงว่า} ช\ge 2 \mathrm{และ} ญ\ge 3 \\ \mathrm{จะได้} 2 \mathrm{แบบ} \mathrm{คือ} ช2ญ4 \mathrm{กับ} ช3ญ3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{แบบที่} 1 ช2 ญ4 \mathrm{จะได้} \left(\begin{array}{c}10\\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right) \mathrm{วิธี} \\ \mathrm{แบบที่} 2 ช3 ญ3 \mathrm{จะได้} \left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right) \mathrm{วิธี} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} n\left(S\right) = \left(\begin{array}{c}10\\ 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}10\\ 3\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right) \\ = \frac{10!}{8!2!}\frac{7!}{3!4!}+\frac{10!}{7!3!}\frac{7!}{4!3!} \\ = 45\left(35\right)+120\left(35\right) \\ = 5775 \mathrm{วิธี} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์} \\ -\mathrm{โดย} \mathrm{นาย} ก \mathrm{และ} \mathrm{นาย} ข \mathrm{จะเป็นกรรมการพร้อมกันไม่ได้} \\ \mathrm{กำหนดให้} n\left(E\right) = ก, ข \mathrm{ไม่เป็นกรรมการพร้อมกัน} \\ n\text{'}\left(E\right) = ก, ข \mathrm{เป็นกรรมการพร้อมกัน} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{หา} n\text{'}\left(E\right) \to ก, ข \mathrm{เป็นกรรมการพร้อมกัน} \\ \mathrm{แบบที่} 1 ช2 ญ4 \mathrm{จะได้} \left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right) \mathrm{วิธี} \\ ( ช2 \mathrm{มี} ก, ข \mathrm{ครบแล้วไม่ต้องเลือก} ) \\ \mathrm{แบบที่} 2 ช3 ญ3 \mathrm{จะได้} \left(\begin{array}{c}8\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right) \mathrm{วิธี} \\ [ \mathrm{เหลือ} ช1 \mathrm{คน} \mathrm{ให้เลือกจาก} 8 \mathrm{คน} (\mathrm{ไม่รวม} ก,ข) ] \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จะได้} n\text{'}\left(E\right) = \left(\begin{array}{c}7\\ 4\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}8\\ 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}7\\ 3\end{array}\right) \\ = \frac{7!}{3!4!}+8\frac{7!}{4!3!} \\ = 35+8\left(35\right) \\ = 315 \mathrm{วิธี} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{โดย} n\left(E\right) = n\left(S\right)-n\text{'}\left(E\right) \\ = 5775-315 \\ = 5460 \\ \mathrm{ดังนั้น} \\ \mathrm{วิธีในการเลือกคณะกรรมการ} 6 \mathrm{คน} \mathrm{โดย} \\ \mathrm{นาย} ก. \mathrm{และนาย} ข. \mathrm{จะเป็นกรรมการพร้อมกันไม่ได้} \\ = 5460 \mathrm{วิธี} \end{gathered}$$