ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2562

ข้อ 32

คนกลุ่มหนึ่ง มีผู้ชาย $10$ คนและผู้หญิง $7$ คน โดยมีนาย ก. และนาย ข. รวมอยู่ด้วย จะมีกี่วิธีในการเลือกคณะกรรมการ $6$ คน จากคนกลุ่มนี้ ประกอบด้วย ผู้ชายอย่างน้อย $2$ คน และผู้หญิงอย่างน้อย $3$ คน โดยมีเงื่อนไขว่า นาย ก. และนาย ข. จะเป็นกรรมการพร้อมกันไม่ได้

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ ผู้ชาย 10 คน ผู้หญิง 7 คน โดยมีนาย ก . และนาย ข . แสดงว่า ช 10, ญ 7$

$จากโจทย์ - เลือกคณะกรรมการ 6 คน ประกอบด้วย ช อย่างน้อย 2 คน และ ญ อย่างน้อย 3 คน แสดงว่า ช \geq 2 และ ญ \geq 3 จะได้ 2 แบบ คือ ช 2 ญ 4 กับ ช 3 ญ 3$

$แบบที่ 1 ช 2 ญ 4 จะได้ (\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix}) วิธี แบบที่ 2 ช 3 ญ 3 จะได้ (\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix}) วิธี$

$จะได้ n (S) = (\begin{matrix} 10 \\ 2 \end{matrix}) (\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 10 \\ 3 \end{matrix}) (\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{10!}{8! 2!} \frac{7!}{3! 4!} + \frac{10!}{7! 3!} \frac{7!}{4! 3!} = 45 (35) + 120 (35) = 5775 วิธี$

$จากโจทย์ - โดย นาย ก และ นาย ข จะเป็นกรรมการพร้อมกันไม่ได้ กำหนดให้ n (E) = ก, ข ไม่เป็นกรรมการพร้อมกัน n' (E) = ก, ข เป็นกรรมการพร้อมกัน$

$หา n' (E) \to ก, ข เป็นกรรมการพร้อมกัน แบบที่ 1 ช 2 ญ 4 จะได้ (\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix}) วิธี (ช 2 มี ก, ข ครบแล้วไม่ต้องเลือก) แบบที่ 2 ช 3 ญ 3 จะได้ (\begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix}) วิธี [เหลือ ช 1 คน ให้เลือกจาก 8 คน (ไม่รวม ก, ข)]$

$จะได้ n' (E) = (\begin{matrix} 7 \\ 4 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 8 \\ 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} 7 \\ 3 \end{matrix}) = \frac{7!}{3! 4!} + 8 \frac{7!}{4! 3!} = 35 + 8 (35) = 315 วิธี$