ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2562

ข้อ 38

กำหนดให้ $f$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันที่นิยามโดย $f (x) = x^{2} - x + a$ และ $g (x) = x^{2} + bx$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ เมื่อ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็ม ถ้า $(f \circ g) (x) = (g \circ f) (x)$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ แล้ว $f (b) + g (a)$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ f (x) = x^{2} - x + a g (x) = x^{2} + b x (f \circ g) (x) = (g \circ f) (x) \to 1$

$หาค่า (f \circ g) (x) จะได้ (f \circ g) (x) = f (g (x)) = f (x^{2} + b x) = {(x^{2} + b x)}^{2} - (x^{2} + b x) + a = x^{4} + 2 b x^{3} + b^{2} x^{2} - x^{2} - b x + a = x^{4} + 2 b x^{3} + (b^{2} - 1) x^{2} - b x + a$

$หาค่า (g \circ f) (x) จะได้ (g \circ f) (x) = g (f (x)) = g (x^{2} - x + a) = {(x^{2} - x + a)}^{2} + b (x^{2} - x + a) = x^{4} - x^{3} + a x^{2} - x^{3} + x^{2} - a x + a x^{2} - a x + a^{2} + b x^{2} - b x + a b$

$= x^{4} - 2 x^{3} + 2 a x^{2} + b x^{2} + x^{2} - 2 a x - b x + a^{2} + a b = x^{4} - 2 x^{3} + (2 a + b + 1) x^{2} - (2 a + b) x + (a^{2} + a b)$

$จาก 1 (f \circ g) (x) = (g \circ f) (x) นำมาเทียบสัมประสิทธิ์ - ส . ป . ส . x^{3} 2 b = - 2 b = - 1 - ส . ป . ส . x^{2} b^{2} - 1 = 2 a + b - 1 {(- 1)}^{2} - 1 = 2 a + (- 1) + 1 a = 0$

$- ส . ป . ส . x - b = - (2 a + b) b = 2 a + b a = 0 - ส . ป . ส . x^{0} a = a^{2} + a b 0 = 0^{2} + 0 (- 1) 0 = 0 แสดงว่า a = 0, b = - 1$

$จะได้ f (x) = x^{2} - x g (x) = x^{2} - x ดังนั้น f (b) + g (a) = f (- 1) + g (0) = [{(- 1)}^{2} - (- 1)] + (0^{2} - 0) = 1 + 1 = 2$

ข้อถัดไป