ข้อสอบ PAT 1 - กุมภาพันธ์ 2562

ข้อ 5

ให้ $ℝ$ แทนเซตของจำนวนจริง

ให้ $f = \{(x, y) \in ℝ \times ℝ y + x = |x|\}$ และ $g = \{(x, y) \in ℝ \times ℝ y - x = |x|\}$

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) $g \circ (f \circ g) = (f \circ g) \circ g$

(ข) $(g \circ f) - f = (f \circ g) + f$

(ค) $f \circ (f \circ g) = fg$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
ข้อ (ก) และ ข้อ (ข) ถูก แต่ ข้อ (ค) ผิด
2
ข้อ (ก) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ข) ผิด
3
ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูก แต่ ข้อ (ก) ผิด
4
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ถูกทั้งสามข้อ
5
ข้อ (ก) ข้อ (ข) และ ข้อ (ค) ผิดทั้งสามข้อ

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$นิยาม |x| = \{\begin{cases} x & เมื่อ x \geq 0 \\ - x & เมื่อ x < 0 \end{cases}$

$จากโจทย์ f : y + x = |x| y = |x| - x y = \{\begin{cases} x - x & ; x \geq 0 \\ - x - x & ; x < 0 \end{cases} y = \{\begin{cases} 0 & ; x \geq 0 \\ - 2 x & ; x < 0 \end{cases} ดังนั้น f (x) = \{\begin{cases} 0 & ; x \geq 0 \to 1 \\ - 2 x & ; x < 0 \to 2 \end{cases}$

$จากโจทย์ g : y - x = | x | y = | x | + x y = \{\begin{cases} x + x & ; x \geq 0 \\ - x + x & ; x < 0 \end{cases} \begin{array}{l} \end{array} y = \{\begin{cases} 2 x & ; x \geq 0 \\ 0 & ; x < 0 \end{cases} ดังนั้น g (x) = \{\begin{cases} 2 x & ; x \geq 0 \to 3 \\ 0 & ; x < 0 \to 4 \end{cases} \begin{array}{l} \end{array}$

$พิจารณาข้อความ ก) หา f \circ g f \circ g (x) = f (g (x)) = \{\begin{cases} f (2 x) & ; x \geq 0 \to 2 x \geq 0 เลือก 1 \\ f (0) & ; x < 0 เลือก 1 \end{cases} = \{\begin{cases} 0 \\ 0 \end{cases} = 0 ทุกกรณี จากโจทย์ g \circ (f \circ g) = (f \circ g) \circ g$

$- ฝั่งซ้าย (g \circ (f \circ g)) (x) = g ((f \circ g) (x)) = g (0); เลือก 3 = 2 (0) = 0 - ฝั่งขวา ((f \circ g) \circ g) (x) = (f \circ g) (g (x)) โดย (f \circ g) () = 0 เสมอ = 0 ดังนั้น ข้อ ก) ถูกต้อง$

$ข) หา g \circ f (g \circ f) (x) = g (f (x)) = \{\begin{cases} g (0) & ; x \geq 0 เลือก 3 \\ g (- 2 x) & ; x < 0 \to - 2 x > 0 เลือก 3 \end{cases} = \{\begin{cases} 2 (0) \\ 2 (- 2 x) \end{cases} = \{\begin{cases} 0 & ; x \geq 0 \\ - 4 x & ; x < 0 \end{cases}$

$- ฝั่งซ้าย ((g \circ f) - f) (x) = (g \circ f) (x) - f (x) = \{\begin{cases} 0 - 0 & ; x \geq 0 \\ - 4 x - (- 2 x) & ; x < 0 \end{cases} = \{\begin{cases} 0 & ; x \geq 0 \\ - 2 x & ; x < 0 \end{cases}$

$- ฝั่งขวา ((f \circ g) + f) (x) = (f \circ g) (x) + f (x) = 0 + f (x) = f (x) = {\begin{cases} 0 & ; x \geq 0 \\ - 2 x & ; x < 0 \end{cases} ดังนั้น ข้อ ข) ถูกต้อง$

$ค) ฝั่งซ้าย (f \circ (f \circ g)) (x) = f ((f \circ g) (x)) = f (0); เลือก 1 ฝั่งขวา (f \cdot g) (x) = f (x) \cdot g (x) = \{\begin{cases} 0 \cdot 2 x & ; x \geq 0 \\ - 2 x \cdot 0 & ; x < 0 \end{cases} = \{\begin{cases} 0 & ; x \geq 0 \\ 0 & ; x < 0 \end{cases} = 0 ทุกกรณี ดังนั้น ข้อ ค) ถูกต้อง$

ข้อถัดไป