ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2555

ข้อ 6

กำหนดให้ R แทนเชตของจำนวนจริง และให้ I แทนเซตของจำนวนเต็ม ให้ f และ g เป็นฟังก็ชันจาก R ไปยัง R โดยที่ $f (x + 5) = x^{3} - x^{2} + 2 x$ สำหรับทุกจำนวนจริง x และ $g^{- 1} (2 x - 1) = x + 4$ สำหรับทุกจำนวนจริง x พิจารณาข้อความต่อไปนี้

(ก) $(f - g) (0) < - 169$

(ข) $\{x \in I (g \circ f) (x) + 5 = 0\}$ เป็นเซตว่าง

1
(ก) ถูก และ (ข) ถูก
2
(ก) ถูก แต่ (ข) ผิด
3
(ก) ผิด แต่ (ข) ถูก
4
(ก) ผิด และ (ข) ผิด

เฉลยข้อสอบ

$(ก) จากโจทย์ f (x + 5) = x^{3} - x^{2} + 2 x \to 1 กำหนดให้ a = x + 5 x = a - 5 แทนใน 1 จะได้ f (a) = {(a - 5)}^{3} - {(a - 5)}^{2} + 2 (a - 5) f (x) = {(x - 5)}^{3} - {(x - 5)}^{2} + 2 (x - 5) \to @ จากโจทย์ g^{- 1} (2 x - 1) = x + 4 \to 2 โดย g^{- 1} (△) = □ \to g (□) = △$
$จะได้ g (x + 4) = 2 x - 1 กำหนดให้ a = x + 4 x = a - 4 แทนใน 2 จะได้ g (a) = 2 (a - 4) - 1 g (x) = 2 (x - 4) - 1 g (x) = 2 x - 9$

$ดังนั้น f (0) - g (0) = [{(0 - 5)}^{3} - {(0 - 5)}^{2} + 2 (0 - 5)] - [2 (0) - 9] = - 125 - 25 - 10 + 9 = - 151 > - 169 ข้อ (ก) ผิด$

$(ข) จากโจทย์ (g \circ f) (x) + 5 = 0 (g \circ f) (x) = - 5 g (f (x)) = - 5 โดย g (△) = □ \to g^{- 1} (□) = △ จะได้ g^{- 1} (- 5) = f (x) \to 3$

$จากโจทย์ g^{- 1} (2 x - 1) = x + 4 \to 4 กำหนดให้ 2 x - 1 = - 5 x = - 2; แทนใน 4 จะได้ g^{- 1} (- 5) = (- 2) + 4 g^{- 1} (- 5) = 2; แทนใน 3$

$จะได้ g^{- 1} (- 5) = f (x) = 2 f (x) = 2 จาก @ f (x) = {(x - 5)}^{3} - {(x - 5)}^{2} + 2 (x - 5) 2 = {(x - 5)}^{3} - {(x - 5)}^{2} + 2 (x - 5) 0 = {(x - 5)}^{3} - {(x - 5)}^{2} + 2 (x - 5) - 2 0 = [{(x - 5)}^{3} - {(x - 5)}^{2}] + [2 (x - 5) - 2] 0 = {(x - 5)}^{2} [(x - 5) - 1] + 2 [(x - 5) - 1] 0 = [{(x - 5)}^{2} + 2] [(x - 5) - 1] 0 = [{(x - 5)}^{2} + 2] [x - 6]$

$แต่ [{(x - 5)}^{2} + 2] > 0 เสมอ (ตัดทิ้งออกจากสมการได้เลย) จะได้ 0 = x - 6 x = 6 ดังนั้น x = 6 ทำให้สมการเป็นจริง ข้อ (ข) ผิด$