ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2558

$จากโจทย์ A = [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}] B = [\begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix}] จะได้ \det (A) = 1 (1) - 2 (2) \det (B) = ad - bc \det (A) = - 3$

$จากโจทย์ \det (A^{t} B) = - 24 \det (A^{t}) \det (B) = - 24; \det (A^{t}) = \det A \det A \det B = - 24; \det (A) = - 3 (- 3) \det (B) = - 24 \det (B) = 8; \det (B) = ad - bc จะได้ ad - bc = 8 \to 1$

$จาก B^{- 1} = \frac{1}{\det B} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}]; แทน \det B = 8 B^{- 1} = \frac{1}{8} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}]$

$จากโจทย์ {AB}^{- 1} = B^{- 1} A; แทนค่า A, B^{- 1} จะได้ [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}] (\frac{1}{8} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}]) = (\frac{1}{8} [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}]) [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}] ตัด \frac{1}{8} ทั้ง 2 ข้าง;$

$[\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}] = [\begin{matrix} d & - b \\ - c & a \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{matrix}] [\begin{matrix} d - 2 c & - b + 2 a \\ 2 d - c & - 2 b + a \end{matrix}] = [\begin{matrix} d - 2 b & 2 d - b \\ - c + 2 a & - 2 c + a \end{matrix}] ดังนั้น d - 2 c = d - 2 b และ - b + 2 a = 2 d - b c = b d = a$

$แทน c = b และ d = a ลงใน 1 จะได้ ad - bc = 8 a^{2} - b^{2} = 8 \to 2 จากโจทย์ abcd = 9 \to 3 แทน c = b และ d = a ลงใน 3 จะได้ abcd = 9 ab (b) (a) = 9 a^{2} b^{2} = 9$

${(ab)}^{2} = 3^{2} ab = 3, - 3; จากโจทย์ a, b เป็นจำนวนเต็มบวก ดังนั้น ab = 3 b = \frac{3}{a} \to 4; แทนใน 2 จะได้ a^{2} - {(\frac{3}{a})}^{2} = 8$
$a^{2} - \frac{9}{a^{2}} = 8 a^{4} - 8 a^{2} - 9 = 0 (a^{2} - 9) (a^{2} + 1) = 0 (a - 3) (a + 3) (a^{2} + 1) = 0; a^{2} + 1 เป็นบวกเสมอ ตัดทิ้ง (a - 3) (a + 3) = 0 a = 3, - 3; จากโจทย์ a เป็นจำนวนจริงบวก ดังนั้น a = 3$

$จาก 4 b = \frac{3}{a} = \frac{3}{3} b = 1 จาก c = b และ d = a จะได้ c = 1 d = 3 ดังนั้น a = 3, b = 1, c = 1, d = 3 หาค่าของ a + b + c + d = 3 + 1 + 1 + 3 = 8$