ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2558

ข้อ 33

กำหนดให้ $ℝ$ แทนเซตของจำนวนจริง ให้ $f : ℝ \to ℝ$ เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้ และสอดคล้องกับ $\lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + x - 6}{\sqrt{1 + f (x)} - 3} = 6$ และ $1 + f (x) \geq 0$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x$ ถ้าเส้นตรง $6 x - y = 4$ ตัดกับกราฟ $y = f (x) ที่ x = 2$ แล้วค่าของ $f' (2)$ เท่ากับเท่าใด

เฉลยข้อสอบ

$สูตรอินทิเกรต y = {[f (x)]}^{n} จะได้ y' = n {[f (x)]}^{n - 1} \cdot \frac{d}{dx} f (x) y = \sqrt{f (x)} จะได้ y' = \frac{1}{2 \sqrt{f (x)}} \cdot \frac{d}{dx} f (x) จากโจทย์ ถ้าเส้นตรง 6 x - y = 4 ตัดกับกราฟ y = f (x) ที่ x = 2 แสดงว่า ที่ x = 2 เส้นตรง 6 (2) - y = 4 y = 8 ดังนั้น ที่ x = 2 กราฟ y = f (x) คือ f (2) = 8$

$จากโจทย์ \lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + x - 6}{\sqrt{1 + f (x)} - 3} = 6; แทน x = 2 จะได้ \frac{{(2)}^{2} + 2 - 6}{\sqrt{1 + f (2)} - 3} = 6; f (2) = 8 \frac{0}{\sqrt{1 + 8} - 3} = 6 \frac{0}{0} = 6 - จาก \frac{0}{0} ใช้กฎของโลปิตาล หาค่า limit$

$จะได้ \lim_{x \to 2} \frac{x^{2} + x - 6}{\sqrt{1 + f (x)} - 3} = \lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{dx} (x^{2} + x - 6)}{\frac{d}{dx} (\sqrt{1 + f (x)} - 3)} 6 = \lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{\frac{1}{2 \sqrt{1 + f (x)}} \cdot \frac{d}{dx} [1 + f (x)]}$

$6 = \lim_{x \to 2} \frac{2 x + 1}{\frac{1}{2 \sqrt{1 + f (x)}} \cdot f' (x)} 6 = \lim_{x \to 2} \frac{(2 \sqrt{1 + f (x)}) (2 x + 1)}{f' (x)} แทน x = 2 6 = \frac{(2 \sqrt{1 + f (2)}) [2 (2) + 1]}{f' (2)} แทน f (2) = 8 6 = \frac{(2 \sqrt{1 + 8}) [2 (2) + 1]}{f' (2)} 6 f' (2) = 2 (3) (5) f' (2) = 5$