ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2558

ข้อ 38

ต้องการสร้างจำนวนห้าหลัก จากเลขโดด 1, 2, 3 โดยที่แต่ละหลักมีตัวเลขซ้ำกันได้ และจำนวนห้าหลักประกอบด้วยตัวเลข 1 อย่างน้อย 1 หลัก ตัวเลข 2 อย่างน้อย 1 หลัก และตัวเลข 3 อย่างมาก 2 หลัก จะมีจำนวนห้าหลักดังกล่าวได้ทั้งหมดกี่จำนวน

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ ต้องการสร้างจำนวนห้าหลัก จากเลขโดด 1, 2, 3 โดยที่แต่ละหลักมีตัวเลขซ้ำกันได้ แบ่งได้ 3 กรณี คือ$

$กรณีที่ 1 จำนวน 5 หลัก ไม่มีเลข 3 แบ่งได้ 4 กรณีย่อย คือ - กรณีที่ 1.1 จำนวน 5 หลักมีเลขโดด 1, 2, 2, 2, 2 จะได้ \frac{5!}{1! 4!} = 5 จำนวน - กรณีที่ 1.2 จำนวน 5 หลักมีเลขโดด 1, 1, 2, 2, 2 จะได้ \frac{5!}{2! 3!} = 10 จำนวน$

$- กรณีที่ 1.3 จำนวน 5 หลักมีเลขโดด 1, 1, 1, 2, 2 จะได้ \frac{5!}{3! 2!} = 10 จำนวน - กรณีที่ 1.4 จำนวน 5 หลักมีเลขโดด 1, 1, 1, 1, 2 จะได้ \frac{5!}{4! 1!} = 5 จำนวน ดังนั้น กรณีที่ 1, 2, 3 มีจำนวน 5 หลักทั้งหมด = 5 + 10 + 10 + 5 = 30 จำนวน$

$กรณีที่ 2 จำนวน 5 หลักมีเลข 3 อยู่ 1 ตัว โดยเลข 3 อยู่ในหลักใดก็ได้ จะได้ {}^{5}C_{1} = \frac{5!}{4! 1!} = 5 จำนวน แบ่งได้ 3 กรณีย่อย คือ$

$- กรณีที่ 2.1 ใน 4 หลักที่เหลือมีเลขโดด 1, 2, 2, 2 จะได้ \frac{4!}{1! 3!} = 4 จำนวน - กรณีที่ 2.2 ใน 4 หลักที่เหลือมีเลขโดด 1, 1, 2, 2 จะได้ \frac{4!}{2! 2!} = 6 จำนวน - กรณีที่ 2.3 ใน 4 หลักที่เหลือมีเลขโดด 1, 1, 1, 2 จะได้ \frac{4!}{3! 1!} = 4 จำนวน ดังนั้น กรณีที่ 2 มีจำนวน 5 หลักทั้งหมด = 5 \times (4 + 6 + 4) = 70 จำนวน$

$กรณีที่ 3 จำนวน 5 หลัก มีเลข 3 อยู่ 2 ตัว โดยเลข 3 อยู่ในหลักใดก็ได้ จะได้ {}^{5}C_{2} = \frac{5!}{3! 2!} = 10 จำนวน แบ่งได้ 2 กรณีย่อย คือ$

$- กรณีที่ 3.1 จำนวน 3 หลักที่เหลือมีเลขโดด 1, 2, 2 จะได้ \frac{3!}{1! 2!} = 3 จำนวน - กรณีที่ 3.2 จำนวน 3 หลักที่เหลือมีเลขโดด 1, 1, 2 จะได้ \frac{3!}{2! 1!} = 3 จำนวน ดังนั้น กรณีที่ 3 มีจำนวน 5 หลักทั้งหมด = 10 \times (3 + 3) = 60 จำนวน$

$จากกรณีที่ 1 + 2 + 3 จะได้ จำนวนห้าหลักดังกล่าวได้ทั้งหมด = 30 + 70 + 60 = 160 จำนวน$