ข้อสอบ PAT 1 - ตุลาคม 2558

ข้อ 9

ให้ $ℝ$ แทนเซตของจำนวนจริง ความสัมพันธ์ในข้อใดต่อไปนี้ไม่เป็นฟังก์ชัน

1
ความสัมพันธ์ $r_{1} = \{(x, y) \in ℝ \times ℝ x y + 1 = 0\}$
2
ความสัมพันธ์ $r_{2} = \{(x, y) \in ℝ \times ℝ y = \tan x\}$
3
ความสัมพันธ์ $r_{3} = \{(x, y) \in ℝ \times ℝ x^{2} = \sqrt{y^{2} + 1}\}$
4
ความสัมพันธ์ $r_{4} = \{(x, y) \in ℝ \times ℝ y = |2 - x|\}$
5
ความสัมพันธ์ $r_{5} = \{(x, y) \in ℝ \times ℝ x^{2} = \frac{y}{y + 1}\}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$นิยามฟังก์ชัน - ความสัมพันธ์ r จะเป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ ถ้า (x, y_{1}) \in r และ (x, y_{2}) \in r แล้ว y_{1} = y_{2} ดังนั้น ความสัมพันธ์ r จะไม่เป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ มี (x, y_{1}) \in r แต่ y_{1} \neq y_{2}$

$สรุปคือ ถ้าแทน x 1 ค่า ต้องได้ y 1 ค่า หรือ ลองวาดกราฟ แล้วลากเส้นขนานแกน y ถ้าตัดกราฟเพียง 1 จุด คือ เป็นฟังก์ชัน พิจารณาตัวเลือกทั้ง 5 ข้อ$
$1 . xy + 1 = 0 xy = - 1 นำมาวาดกราฟ (เป็นกราฟไฮเปอร์โบลามุมฉาก)$

$- ลากเส้นตรงขนานแกน y จะได้ว่าเส้นตรงนั้นตัดกราฟ xy = - 1 เพียงจุดเดียว ดังนั้น xy + 1 = 0 เป็นฟังก์ชัน 2 . y = tanx เป็นฟังก์ชันตรีโกณมิติ ดังนั้น y = tanx เป็นฟังก์ชัน$

$3 . x^{2} = \sqrt{y^{2} + 1} x^{4} = y^{2} + 1 y^{2} = x^{4} - 1 y = \pm \sqrt{x^{4} - 1} ดังนั้น x^{2} = \sqrt{y^{2} + 1} ไม่เป็นฟังก์ชัน เนื่องจาก ถ้าแทน x 1 ค่า จะได้ y 2 ค่า (ขัดแย้งกับนิยาม) 4 . y = |2 - x| y = |- (x - 2)| นำมาวาดรูปกราฟ$

$ลากเส้นตรงขนานแกน y จะได้ว่าเส้นตรงนั้นตัดกราฟ y = |2 - x| เพียงจุดเดียว ดังนั้น y = |2 - x| เป็นฟังก์ชัน 5 . x^{2} = \frac{y}{y + 1} จากนิยาม ความสัมพันธ์ r จะเป็นฟังก์ชัน ก็ต่อเมื่อ ถ้า (x, y_{1}) \in r และ (x, y_{2}) \in r แล้ว y_{1} = y_{2} กำหนดให้ (x_{1}, y_{1}) และ (x_{2}, y_{2}) ถ้า x_{1} = x_{2}$
$x_{1}^{2} = x_{2}^{2} \frac{y_{1}}{y_{1} + 1} = \frac{y_{2}}{y_{2} + 1} y_{1} y_{2} + y_{1} = y_{2} y_{1} + y_{2} แล้ว y_{1} = y_{2} ถ้า x_{1} = x_{2} แล้ว y_{1} = y_{2} ดังนั้น x^{2} = \frac{y}{y + 1} เป็นฟังก์ชัน$