ข้อสอบ PAT 1 - พฤศจิกายน 2557

ข้อ 17

กำหนดให้ $L_{1}$ เป็นเส้นตรงผ่านจุด $(- 2, - 4)$ มีความชันเป็นจำนวนเต็มบวก และตัดแกน $X$ และแกน $Y$ ที่จุด $A$ และจุด $B$ ตามลำดับ โดยผลบวกของระยะตัดแกน $X$ และระยะตัดแกน $Y$ เท่ากับ $3$ หน่วย ให้ $L_{2}$ เป็นเส้นตรงที่ขนานกับเส้นตรง $L_{1}$ และผ่านจุด $(0, - 13)$ ถ้า $C$ เป็นจุดบนเส้นตรง $L_{2}$ โดยที่ $C A = C B$ แล้วพื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม $A B C$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
8.5 ตารางหน่วย
2
7.5 ตารางหน่วย
3
6.5 ตารางหน่วย
4
5.5 ตารางหน่วย

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ L_{1} ผ่านจุด (- 2, - 4) มีความชันเป็นจำนวนเต็มบวก และตัดแกน X และแกน Y ที่จุด A และจุด B กำหนดให้ L_{1} ตัดแกน x ที่ A (a, 0), ตัดแกน y ที่ B (0, b) และผ่าน (- 2, - 4) ลองวาดรูป$

$จากโจทย์ ผลบวกของระยะตัดแกน X และระยะตัดแกน Y เท่ากับ 3 หน่วย จะได้ a + b = 3 a = 3 - b \to 1 เนื่องจาก (- 2, - 4), A (a, 0), B (0, b) อยู่บนเส้นตรง L_{1} เหมือนกัน ใช้จุดไหนมาหาความชัน จะได้เท่ากัน ดังนั้น ความชันจาก (- 2, - 4) ไป A (a, 0) = ความชันจาก (- 2, - 4) ไป B (0, b)$

$สูตรความชัน m = \frac{y_{2} - y_{2}}{x_{2} - x_{1}} \frac{0 - (- 4)}{a - (- 2)} = \frac{b - (- 4)}{0 - (- 2)} \frac{4}{a + 2} = \frac{b + 4}{2} 4 (2) = (b + 4) (a + 2); แทน a = 3 - b 8 = (b + 4) (3 - b + 2) 8 = (b + 4) (5 - b) 8 = 5 b - b^{2} + 20 - 4 b 0 = b^{2} - b - 12 (b - 4) (b + 3) = 0 b = - 3, 4$

$ถ้า b = - 3 ความชัน L_{1} [จุด (- 2, - 4), B (0, - 3)] = \frac{- 3 - (- 4)}{0 - (- 2)} = \frac{1}{2} ใช้ไม่ได้ เพราะ โจทย์กำหนด L_{1} มีความชันเป็นจำนวนเต็มบวก ถ้า b = 4 ความชัน L_{1} [จุด (- 2, - 4), B (0, 4)] = \frac{4 - (- 4)}{0 - (- 2)} = 4 ใช้ได้ จาก 1 \to a = 3 - b; แทน b = 4 a = 3 - 4 = - 1 จะได้ จุด A (- 1, 0), B (0, 4)$

$ความยาว AB = \sqrt{{(△ x)}^{2} + {(△ y)}^{2}} แทนค่าจุด A (- 1, 0), B (0, 4) A B = \sqrt{{(- 1 - 0)}^{2} + {(0 - 4)}^{2}} A B = \sqrt{17} จะได้ L_{1} มีความชัน = 4, ตัดแกน y ที่จุด (0, 4) ดังนั้น สมการ L_{1} คือ y = 4 x + 4 หรือ 4 x - y + 4 = 0$

$จากโจทย์ L_{2} เป็นเส้นตรงที่ขนานกับ L_{1} และผ่านจุด (0, - 13) จะได้ L_{2} มีความชัน = 4 (ขนานกัน ความชันเท่ากัน) ตัดแกน y ที่จุด (0, - 13) ดังนั้น สมการ L_{2} คือ y = 4 x - 13 หรือ 4 x - y - 13 = 0 - วาดรูปเส้นตรง L_{1}, L_{2}$

$d = ระยะระหว่าง L_{1} กับ L_{2} = \frac{|C_{1} - C_{2}|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} แทน C_{1} = 4, C_{2} = - 13, A = 4, B = - 1 จะได้ = \frac{|4 - (- 13)|}{\sqrt{4^{2} + {(- 1)}^{2}}} = \frac{17}{\sqrt{17}}$

$ดังนั้น พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม ABC = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h แทนค่า AB, h; = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{17} \cdot \frac{17}{\sqrt{17}} = 8.5$