ข้อสอบ PAT 1 - พฤศจิกายน 2557

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} {\mathrm{L}}_1 \mathrm{ผ่านจุด} \left(-2,-4\right) \mathrm{มีความชันเป็นจำนวนเต็มบวก} \\ \mathrm{และตัดแกน} \mathrm{X} \mathrm{และแกน} \mathrm{Y} \mathrm{ที่จุด} \mathrm{A} \mathrm{และจุด} \mathrm{B} \\ \mathrm{กำหนดให้} {\mathrm{L}}_1 \mathrm{ตัดแกน} \mathrm{x} \mathrm{ที่} \mathrm{A}\left(\mathrm{a},0\right) , \mathrm{ตัดแกน} \mathrm{y} \mathrm{ที่} \mathrm{B}\left(0,\mathrm{b}\right) \\ \mathrm{และผ่าน} \left(-2,-4\right) \\ \mathrm{ลองวาดรูป} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em}\mathrm{ผลบวกของระยะตัดแกน} \mathrm{X} \mathrm{และระยะตัดแกน} \mathrm{Y} \\ \mathrm{เท่ากับ} 3 \mathrm{หน่วย} \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{a}+\mathrm{b}=3 \\ \mathrm{a}=3-\mathrm{b}\to \boxed{1} \\ \mathrm{เนื่องจาก} \left(-2,-4\right) , \mathrm{A}\left(\mathrm{a},0\right) , \mathrm{B}\left(0,\mathrm{b}\right) \mathrm{อยู่บนเส้นตรง} {\mathrm{L}}_1 \\ \mathrm{เหมือนกัน} \mathrm{ใช้จุดไหนมาหาความชัน} \mathrm{จะได้เท่ากัน} \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{ความชันจาก} \left(-2,-4\right) \mathrm{ไป} \mathrm{A}\left(\mathrm{a},0\right) \\ =\mathrm{ความชันจาก} \left(-2,-4\right) \mathrm{ไป} \mathrm{B}\left(0,\mathrm{b}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{สูตรความชัน} \mathrm{m}=\frac{{\mathrm{y}}_2-{\mathrm{y}}_2}{{\mathrm{x}}_2-{\mathrm{x}}_1} \\ \frac{0-\left(-4\right)}{\mathrm{a}-\left(-2\right)}=\frac{\mathrm{b}-\left(-4\right)}{0-\left(-2\right)} \\ \frac{4}{\mathrm{a}+2}=\frac{\mathrm{b}+4}{2} \\ 4\left(2\right)=\left(\mathrm{b}+4\right)\left(\mathrm{a}+2\right) \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}; \mathrm{แทน} \mathrm{a}=3-\mathrm{b} \\ 8=\left(\mathrm{b}+4\right)\left(3-\mathrm{b}+2\right) \\ 8=\left(\mathrm{b}+4\right)\left(5-\mathrm{b}\right) \\ 8=5\mathrm{b}-{\mathrm{b}}^2+20-4\mathrm{b} \\ 0={\mathrm{b}}^2-\mathrm{b}-12 \\ \left(\mathrm{b}-4\right)\left(\mathrm{b}+3\right)=0 \\ \mathrm{b}=-3,4 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathbf{ถ้า}\mathbf{ }\mathbf{b}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{3} \mathrm{ความชัน} {\mathrm{L}}_1 \left[\mathrm{จุด} \left(-2,-4\right) , \mathrm{B}\left(0,-3\right)\right] \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=\frac{-3-\left(-4\right)}{0-\left(-2\right)}=\frac{1}{2} \\ \mathrm{ใช้ไม่ได้} \mathrm{เพราะ} \mathrm{โจทย์กำหนด} {\mathrm{L}}_1 \mathrm{มีความชันเป็นจำนวนเต็มบวก} \\ \mathbf{ถ้า}\mathbf{ }\mathbf{b}\mathbf{=}\mathbf{4} \mathrm{ความชัน} {\mathrm{L}}_1 \left[\mathrm{จุด} \left(-2,-4\right) , \mathrm{B}\left(0,4\right)\right] \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}=\frac{4-\left(-4\right)}{0-\left(-2\right)}=4 \\ \mathrm{ใช้ได้} \mathrm{จาก} \boxed{1}\to \mathrm{a}=3-\mathrm{b} ; \mathrm{แทน} \mathrm{b}=4 \\ \mathrm{a}=3-4=-1 \\ \mathrm{จะได้} \mathrm{จุด} \mathrm{A}\left(-1,0\right) , \mathrm{B}\left(0,4\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{ความยาว} \mathrm{AB}=\sqrt{{\left(△\mathrm{x}\right)}^2+{\left(△\mathrm{y}\right)}^2} \\ \hspace{0.17em}\hspace{0.17em}\mathrm{แทนค่าจุด} \mathrm{A}\left(-1,0\right) , \mathrm{B}\left(0,4\right) \\ AB=\sqrt{{\left(-1-0\right)}^2+{\left(0-4\right)}^2} \\ AB=\sqrt{17} \\ \mathrm{จะได้} {\mathrm{L}}_1 \mathrm{มีความชัน}=4 , \mathrm{ตัดแกน} \mathrm{y} \mathrm{ที่จุด} \left(0,4\right) \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{สมการ} {\mathrm{L}}_1 \mathrm{คือ} \mathrm{y}=4\mathrm{x}+4 \mathrm{หรือ} 4\mathrm{x}-\mathrm{y}+4=0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{จากโจทย์}\hspace{0.17em} {\mathrm{L}}_2 \mathrm{เป็นเส้นตรงที่ขนานกับ} {\mathrm{L}}_1 \mathrm{และผ่านจุด} \left(0,-13\right) \\ \mathrm{จะได้} {\mathrm{L}}_2 \mathrm{มีความชัน}=4 \left(\mathrm{ขนานกัน} \mathrm{ความชันเท่ากัน}\right) \\ \mathrm{ตัดแกน} \mathrm{y} \mathrm{ที่จุด} \left(0,-13\right) \\ \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{สมการ} {\mathrm{L}}_2 \mathrm{คือ} \mathrm{y}=4\mathrm{x}-13 \mathrm{หรือ} 4\mathrm{x}-\mathrm{y}-13=0 \\ -\mathrm{วาดรูปเส้นตรง} {\mathrm{L}}_1 , {\mathrm{L}}_2 \end{gathered}$$


$$\begin{gathered} \mathrm{d} = \mathrm{ระยะระหว่าง} {\mathrm{L}}_1 \mathrm{กับ} {\mathrm{L}}_2 =\frac{\left|{\mathrm{C}}_1-{\mathrm{C}}_2\right|}{\sqrt{{\mathrm{A}}^2+{\mathrm{B}}^2}} \\ \mathrm{แทน} {\mathrm{C}}_1=4 , {\mathrm{C}}_2=-13 , \mathrm{A}=4 , \mathrm{B}=-1 \\ \mathrm{จะได้} =\frac{\left|4-\left(-13\right)\right|}{\sqrt{4^2+{\left(-1\right)}^2}} \\ =\frac{17}{\sqrt{17}} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{ดังนั้น} \mathrm{พื้นที่ของรูปสามเหลี่ยม} \mathrm{ABC}=\frac{1}{2}·\mathrm{AB}·\mathrm{h} \\ \mathrm{แทนค่า} \mathrm{AB} , \mathrm{h} ; =\frac{1}{2}·\cancel{\sqrt{17}}·\frac{17}{\cancel{\sqrt{17}}} \\ =8.5 \end{gathered}$$