ข้อสอบ PAT 1 - พฤศจิกายน 2557

ข้อ 29

ถ้า $\frac{\sin^{4} x}{5} + \frac{\cos^{4} x}{7} = \frac{1}{12}$ สำหรับบาง $x > 0$ แล้วค่าของ $\frac{\sin^{2} (2 x)}{5} + \frac{\cos^{2} (2 x)}{7}$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{1}{144}$
2
$\frac{25}{126}$
3
$\frac{2}{9}$
4
$\frac{1}{6}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ \frac{\sin^{4} x}{5} + \frac{\cos^{4} x}{7} = \frac{1}{12} เปลี่ยน \cos x ให้อยู่ในรูป \sin x; \frac{\sin^{4} x}{5} + \frac{{(\cos^{2} x)}^{2}}{7} = \frac{1}{12} โดย \cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x; \frac{\sin^{4} x}{5} + \frac{{(1 - \sin^{2} x)}^{2}}{7} = \frac{1}{12} \frac{7 \sin^{4} x + 5 (1 - 2 \sin^{2} x + \sin^{4} x)}{35} = \frac{1}{12}$

$\frac{12 \sin^{4} x + 5 - 10 \sin^{2} x}{35} = \frac{1}{12} 144 \sin^{4} x + 60 - 120 \sin^{2} x = 35 144 \sin^{4} x - 120 \sin^{2} x + 25 = 0 {(12 \sin^{2} x)}^{2} - 2 (12 \sin^{2} x) (5) + 5^{2} = 0 โดย a^{2} - 2 ab + b^{2} = {(a - b)}^{2}; {(12 \sin^{2} x - 5)}^{2} = 0$
$12 \sin^{2} x - 5 = 0 \sin^{2} x = \frac{5}{12} หาค่าของ \frac{\sin^{2} (2 x)}{5} + \frac{\cos^{2} (2 x)}{7} = \frac{{(\sin 2 x)}^{2}}{5} + \frac{{(\cos 2 x)}^{2}}{7} โดย \sin 2 x = 2 \sin x \cos x \cos 2 x = 1 - 2 \sin^{2} x; = \frac{{(2 \sin x \cos x)}^{2}}{5} + \frac{{(1 - 2 \sin^{2} x)}^{2}}{7}$
$= \frac{4 \sin^{2} x \cos^{2} x}{5} + \frac{{(1 - 2 \sin^{2} x)}^{2}}{7} โดย \cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x; = \frac{4 \sin^{2} x (1 - \sin^{2} x)}{5} + \frac{{(1 - 2 \sin^{2} x)}^{2}}{7} แทนค่า \sin^{2} x = \frac{5}{12}; = \frac{4 (\frac{5}{12}) (1 - \frac{5}{12})}{5} + \frac{(1 - 2 (\frac{5}{12}))^{2}}{7}$

$= \frac{7}{36} + \frac{\frac{1}{36}}{7} = \frac{7}{36} + \frac{1}{7 (36)} = \frac{50}{252} = \frac{25}{126}$