ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2555

ข้อ 1

สำหรับเซต S ใดๆ ให้ S' แทนคอมพลีเมนต์ของเซต S กำหนดให้ A,B และ C เป็นในเอกภพสัมพัทธ์ U โดยที่ $A \cap B = B$ , $C \subset A$ และ $B \cap C \neq \emptyset$

ถ้าเซต U มีสมาชิก 12 ตัว เซต $A' \cup B'$ มีสมาชิก 10 ตัว และ เซต $A \cap B'$ มีสมาชิก 4 ตัว แล้วจะมีเซต C ทั้งหมดกี่เซต

1
60 เซต
2
48 เซต
3
16 เซต
4
8 เซต

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ A \cap B = B แสดงว่า B \subset A, C \subset A และ B \cap C \neq \emptyset - สามารถวาดได้ดังรูป$

$จากโจทย์ n (U) = 12 และ n (A' \cup B') = 10 จะได้ n (B) = 2 จากโจทย์ n (A \cap B') = 4 จะได้ n (A - B) = 4 กำหนดให้ U = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12\} B = \{1, 2\} A = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} ซึ่งจะสอดคล้องกับเงื่อนไขโจทย์ทุกอย่าง พิจารณาเซต C ซึ่ง C \subset A และ B \cap C \neq \emptyset$

$1 . B \cap C \neq \emptyset มีได้ 3 กรณี คือ 1 \in A และ 2 \notin A 1 \notin A และ 2 \in A 1 \in A และ 2 \in A แสดงว่า B \cap C \neq \emptyset มีเซต C ได้ทั้งหมด 3 แบบ$

$2 . C \subset A นั้นคือเซต C อาจมีสมาชิกอื่นๆ จากเซต A ที่ไม่ใช่ 1 และ 2 ตัวเลข 3 มีโอกาสได้ 2 แบบ คือ 3 \in C หรือ 3 \notin C ตัวเลข 4 มีโอกาสได้ 2 แบบ คือ 4 \in C หรือ 4 \notin C ตัวเลข 5 มีโอกาสได้ 2 แบบ คือ 5 \in C หรือ 5 \in C ตัวเลข 6 มีโอกาสได้ 2 แบบ คือ 6 \in C หรือ 6 \notin C แสดงว่า เซต C จะมีหรือไม่มีสมาชิกอื่นๆในเซต A ได้เท่ากับ = 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16 แบบ ดังนั้น สามารถสร้างเซต C ได้ทั้งหมด 3 \times 16 = 48 แบบ$