ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2555

ข้อ 15

พิจารณาข้อความต่อไปนี้

ก. สำหรับ $a$ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มบวก จะได้ว่า $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a^{n} + b^{n}}{(a + b)^{n}} = \frac{a^{2} + b^{2}}{a b}$

ข. ถ้า $a_{1}, a_{2}, a_{3}, . . .$ เป็นลำดับเลขคณิตของจำนวนจริง โดยที่ $\frac{a_{1} + a_{2} + . . . . + a_{n}}{a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . . + a_{m}} = \frac{n^{2}}{m^{2}}$
สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ และ $m$ ที่แตกต่างกัน แล้ว $\frac{a_{m}}{a_{n}} = \frac{2 m - 1}{2 n - 1}$

ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง

1
ก. ถูก และ ข. ถูก
2
ก. ถูก แต่ ข. ผิด
3
ก. ผิด แต่ ข. ถูก
4
ก. ผิด และ ข. ผิด

เฉลยข้อสอบ

$ข้อ ก . จากโจทย์ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a^{n} + b^{n}}{(a + b)^{n}} = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a^{n}}{(a + b)^{n}} + \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{b^{n}}{(a + b)^{n}} = \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{a}{a + b})}^{n} + \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{b}{a + b})}^{n} จากสูตรอนุกรมเรขาคณิตอนันต์ S_{\infty} = \frac{a_{1}}{1 - r}$

$จะได้ \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{a^{n} + b^{n}}{(a + b)^{n}} = \frac{\frac{a}{a + b}}{1 - \frac{a}{a + b}} + \frac{\frac{b}{a + b}}{1 - \frac{b}{a + b}} = \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = \frac{a^{2} + b^{2}}{ab}$

$ข้อ ข . จากโจทย์ \frac{a_{1} + a_{2} + . . . . + a_{n}}{a_{1} + a_{2} + a_{3} + . . . . + a_{m}} = \frac{n^{2}}{m^{2}} จากสูตร อนุกรมเรขาคณิตอนันต์ S_{n} = \frac{n}{2} [2 a_{1} + (n - 1) d]$
$จะได้ \frac{\frac{n}{2} [2 a_{1} + (n - 1) d]}{\frac{m}{2} [2 a_{1} + (m - 1) d]} = \frac{n^{2}}{m^{2}} \frac{2 a_{1} + (n - 1) d}{2 a_{1} + (m - 1) d} = \frac{n}{m} 2 a_{1} m + (n - 1) md = 2 a_{1} n + (m - 1) nd$

$2 a_{1} m + nmd - md = 2 a_{1} n + mnd - nd 2 a_{1} m - md = 2 a_{1} n - nd 2 a_{1} m - 2 a_{1} n - md + nd = 0 2 a_{1} (m - n) - d (m - n) = 0 (2 a_{1} - d) (m - n) = 0$

$จากโจทย์ จำนวนเต็มบวก n และ m ที่แตกต่างกัน จะได้ 2 a_{1} - d = 0 2 a_{1} = d$

$ดังนั้น \frac{a_{m}}{a_{n}} = \frac{a_{1} + (m - 1) d}{a_{1} + (n - 1) d} = \frac{a_{1} + (m - 1) (2 a_{1})}{a_{1} + (n - 1) (2 a_{1})} = \frac{a_{1} [1 + (m - 1) (2)]}{a_{1} [1 + (n - 1) (2)]} = \frac{1 + (m - 1) (2)}{1 + (n - 1) (2)} = \frac{2 m - 1}{2 n - 1} ข้อ ข . ถูก$