ข้อสอบ PAT1 - มีนาคม 55 | ความถนัดทางคณิตศาสตร์

$จากโจทย์ t_{n} = 2^{n} และ a_{n} = 5^{t_{n}} + 5^{- t_{n}} จะได้ a_{n} = 5^{2^{n}} + 5^{- 2^{n}} a_{n} = 5^{2^{n + 1}} + 5^{- 2^{n + 1}}$

$หาค่า a_{1} \cdot a_{2} \cdot a_{3} \cdot . . . \cdot a_{n} = (5^{2^{1}} + 5^{- 2^{1}}) (5^{2^{2}} + 5^{- 2^{2}}) (5^{2^{3}} + 5^{- 2^{3}}) . . . (5^{2^{n}} + 5^{- 2^{n}}) = (5^{2^{1}} + 5^{- 2^{1}}) (5^{2^{2}} + 5^{- 2^{2}}) (5^{2^{3}} + 5^{- 2^{3}}) . . . (5^{2^{n}} + 5^{- 2^{n}}) \frac{(5^{2^{1}} - 5^{- 2^{1}})}{5^{2^{1}} - 5^{- 2^{1}}} = \frac{[(5^{2^{1}} + 5^{- 2^{1}}) (5^{2^{1}} - 5^{- 2^{1}})] (5^{2^{2}} + 5^{- 2^{2}}) (5^{2^{3}} + 5^{- 2^{3}}) . . . (5^{2^{n}} + 5^{- 2^{n}})}{5^{2^{1}} - 5^{- 2^{1}}}$
$= \frac{[{(5^{2^{1}})}^{2} - {(5^{- 2^{1}})}^{2}] (5^{2^{2}} + 5^{- 2^{2}}) (5^{2^{3}} + 5^{- 2^{3}}) . . . (5^{2^{n}} + 5^{- 2^{n}})}{5^{2^{1}} - 5^{- 2^{1}}} = \frac{(5^{2^{2}} - 5^{- 2^{2}}) (5^{2^{2}} + 5^{- 2^{2}}) (5^{2^{3}} + 5^{- 2^{3}}) . . . (5^{2^{n}} + 5^{- 2^{n}})}{5^{2} - 5^{- 2}} = \frac{[{(5^{2^{2}})}^{2} - {(5^{- 2^{2}})}^{2}] (5^{2^{3}} + 5^{- 2^{3}}) . . . (5^{2^{n}} + 5^{- 2^{n}})}{5^{2} - \frac{1}{5^{2}}} = \frac{(5^{2^{3}} - 5^{- 2^{3}}) (5^{2^{3}} + 5^{- 2^{3}}) . . . (5^{2^{n}} + 5^{- 2^{n}})}{25 - 0.04} = \frac{5^{2^{n + 1}} + 5^{- 2^{n + 1}}}{24.96}$

$ดังนั้น \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{1} \cdot a_{2} \cdot . . . \cdot a_{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{5^{2^{n + 1}} + 5^{- 2^{n + 1}}}{\frac{5^{2^{n + 1}} + 5^{- 2^{n + 1}}}{24.96}} = \lim_{n \to \infty} (24.96) (\frac{5^{2^{n + 1}} + 5^{- 2^{n + 1}}}{5^{2^{n + 1}} - 5^{- 2^{n + 1}}}) กำหนดให้ 5^{2^{n + 1}} = a และ 5^{- 2^{n + 1}} = a^{- 1} = \frac{1}{a}$
$จะได้ \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{1} \cdot a_{2} \cdot . . . \cdot a_{n}} = \lim_{n \to \infty} (24.96) (\frac{a + \frac{1}{a}}{a - \frac{1}{a}}) ดึงตัวร่วม a = \lim_{n \to \infty} (24.96) (\frac{a (1 + \frac{1}{a^{2}})}{a (1 - \frac{1}{a^{2}})}) = \lim_{n \to \infty} (24.96) (\frac{1 + \frac{1}{a^{2}}}{1 - \frac{1}{a^{2}}}) \to 1$
$แทนค่า \frac{1}{a^{2}} = {(\frac{1}{a})}^{2} = {(5^{- 2^{n + 1}})}^{2} = 5^{- 2^{n + 2}} จาก 1 \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{1} \cdot a_{2} \cdot . . . \cdot a_{n}} = \lim_{n \to \infty} (24.96) (\frac{1 + 5^{- 2^{n + 2}}}{1 - 5^{- 2^{n + 2}}}) = \lim_{n \to \infty} (24.96) (\frac{1 + \frac{1}{5^{2^{n + 2}}}}{1 - \frac{1}{5^{2^{n + 2}}}}) โดย \lim_{n \to \infty} \frac{1}{5^{2^{n + 2}}} = 0 = 24.96 (1) = 24.96 ดังนั้น \lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{1} \cdot a_{2} \cdot . . . \cdot a_{n}} เท่ากับ 24.96$