ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2555

ข้อ 39

กำหนดให้ $f (x) = x^{3} + a x + b$ เมื่อ a และ b เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน และให้ $L_{1}$ และ $L_{2}$ เป็นเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ที่ $x = a$ และ $x = b$ ตามลำดับ

ถ้า $L_{1}$ ขนานกับ $L_{2}$ และ $\lim_{h \to 0} \frac{9 h}{f (1 + h) - f (1)} = 1$ แล้วค่าของ $\int_{0}^{2} f (x) d x$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ f (x) = x^{3} + ax + b \to 1 f' (x) = 3 x^{2} + a \to 2 f' (a) = 3 a^{2} + a f' (b) = 3 b^{2} + a$

$จากโจทย์ L_{1} และ L_{2} เป็นเส้นสัมผัสเส้นโค้ง ที่ x = a และ x = b จะได้ m_{L_{1}} = m_{L_{2}} 3 a^{2} + a = 3 b^{2} + a 3 a^{2} = 3 b^{2} a^{2} = b^{2} \to 3$

$จากโจทย์ \lim_{h \to 0} \frac{9 h}{𝑓 (1 + h) - 𝑓 (1)} = 1 \lim_{h \to 0} \frac{h}{𝑓 (1 + h) - 𝑓 (1)} = \frac{1}{9} \lim_{h \to 0} \frac{𝑓 (1 + h) - 𝑓 (1)}{h} = 9 f' (1) = 9$

$จาก 2 จะได้ f' (1) = 3 {(1)}^{2} + a 9 = 3 + a a = 6 จาก 3 จะได้ b = - 6, 6$

$จากโจทย์ a และ b เป็นจำนวนจริงที่แตกต่างกัน แสดงว่า a = 6, b = - 6 แทน a, b ใน 1 จะได้ f (x) = x^{3} + 6 x - 6$

$ดังนั้น \int_{0}^{2} 𝑓 (x) d x = \int_{0}^{2} x^{3} + 6 x - 6 d x = {\frac{x^{4}}{4} + 3 x^{2} - 6 x}_{0}^{2} = \frac{2^{4}}{4} + 3 {(2)}^{2} - 6 (2) = 4$