ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2556

ข้อ 31

กำหนดให้วงรีมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(0, 0)$ และมีโฟกัส $F_{1}$ และ $F_{2}$ อยู่บนแกน x จุด $A (4, 1)$ เป็นจุดบนวงรีโดยที่ผลบวกระยะทางจากจุด $A (4, 1)$ ไปยังจุดโฟกัสทั้งสองมีค่าเท่ากับ $6 \sqrt{2}$ ให้เส้นตรง L ตัดแกน x ที่จุด $(4.5, 0)$ และสัมผัสกับวงรีที่จุด $A (4, 1)$ ถ้า d เป็นระยะห่างระหว่างจุด $(0, 0)$ กับเส้นตรง L แล้ว ค่าของ $d^{2} |A F_{1}| |A F_{2}|$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$นิยาม P (x, y) เป็นจุดใดๆบนวงรี, F_{1}, F_{2} เป็นจุดโฟกัสของวงรี จะได้ |{PF}_{1}| + |{PF}_{2}| เท่ากับค่าคงตัว = 2 a$

$จากโจทย์ A (4, 1) เป็นจุดบนวงรี โดยผลบวกระยะจากจุด A (4, 1) ไปยังจุดโฟกัสทั้งสองมีค่าเท่ากับ 6 \sqrt{2} จะได้ 2 a = 6 \sqrt{2} a = 3 \sqrt{2} จากโจทย์ วงรีมีจุดศูนย์กลาง (0, 0) และมีโฟกัส F_{1}, F_{2} อยู่บนแกน x จะได้ (h, k) = (0, 0) และ แกนเอกของวงรีขนานแกน x$

$จากสูตร สมการวงรี \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 โดย A (4, 1) เป็นจุดผ่านของวงรี จะได้ \frac{{(4)}^{2}}{{(3 \sqrt{2})}^{2}} + \frac{{(1)}^{2}}{b^{2}} = 1$

$\frac{16}{18} + \frac{1}{b^{2}} = 1 \frac{1}{b^{2}} = 1 - \frac{8}{9} \frac{1}{b^{2}} = \frac{1}{9} b = 3$

$โดย c^{2} = a^{2} - b^{2} = {(3 \sqrt{2})}^{2} - {(3)}^{2} = 18 - 9 = 9 c^{2} = 3 ดังนั้น จุดโฟกัส F_{1} และ F_{2} คือ F_{1} (- 3, 0) และ F_{2} (3, 0)$

$จากโจทย์ เส้นตรง L ตัดแกน x ที่จุด (4.5, 0) และ สัมผัสกับวงรีที่จุด A (4, 1) วาดรูปกราฟวงรี และเส้นตรง L$

$ความชันของเส้นตรง L จากสูตร m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}} m = \frac{1 - 0}{4 - 4.5} m = \frac{1}{- 0.5} m = - 2$

$สร้างสมการเส้นตรง L จากสูตร y - y_{1} = m (x - x_{1}) y - 1 = - 2 (x - 4) y - 1 = - 2 x + 8 2 x + y - 9 = 0$

$หาระยะห่างระหว่างจุดกับจุด (หา {AF}_{1} และ {AF}_{2}) จากสูตร d = \sqrt{{(x_{1} - x_{2})}^{2} + (y_{1} - y_{2}) 2} {AF}_{1} = \sqrt{{(4 - 3)}^{2} + {(1 - 0)}^{2}} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$

${AF}_{2} = \sqrt{{(4 + 3)}^{2} + {(1 - 0)}^{2}} = \sqrt{49 + 1} = \sqrt{50} = 5 \sqrt{2} จากโจทย์ d เป็นระยะห่างระหว่างจุด (0, 0) กับเส้นตรง L$

$จากสูตร d = \frac{|{Ax}_{0} + {By}_{0} + C|}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} = \frac{|2 (0) + 1 (0) - 9|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2}}} = \frac{|- 9|}{\sqrt{5}} = \frac{9}{\sqrt{5}}$

$ดังนั้น d^{2} |{AF}_{1}| |{AF}_{2}| = {(\frac{9}{\sqrt{5}})}^{2} (\sqrt{2}) (5 \sqrt{2}) = (81) (2) = 162$

ข้อถัดไป