ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557

ข้อ 17

ให้ a และ b เป็นจำนวนจริง และให้ $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} + a x + b, x < 2 \\ \sqrt{x - 1}, 2 \leq x \leq 5 \\ a x + b, x > 5 \end{matrix}$

ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องบนเซตของจำนวนจริง แล้ว $a - b$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
5
2
8
3
11
4
12

เฉลยข้อสอบ

$ถ้า f เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง แสดงว่ารอยต่อของฟังก์ชัน คือ x = 2 และ x = 5 ถ้า x ต่อเนื่องที่ x = 2 จะได้ \lim_{x \to 2^{-}} f (x) = \lim_{x \to 2^{+}} f (x) \lim_{x \to 2^{-}} (x^{2} + a x + b) = \lim_{x \to 2^{+}} (\sqrt{x - 1}) 2^{2} + a (2) + b = \sqrt{2 - 1} ดังนั้น 2 a + b = - 3 \to 1$

$ถ้า x ต่อเนื่องที่ x = 5 จะได้ \lim_{x \to 5^{-}} f (x) = \lim_{x \to 5^{+}} f (x) \lim_{x \to 5^{-}} (\sqrt{x - 1}) = \lim_{x \to 5^{+}} (a x + b) 2 = 5 a + b ดังนั้น 5 a + b = 2 \to 2$

$- จาก 1, 2 แก้ 2 สมการ 2 ตัวแปร หาค่า a, b จะได้ a = \frac{5}{3} และ b = - \frac{19}{3} หาค่าของ a - b = \frac{5}{3} - (- \frac{19}{3}) = \frac{24}{3} = 8$