ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557

ข้อ 20

กำหนดให้ $a_{n} = \sqrt{n^{2} + 16 n + 3} - \sqrt{n^{2} + 2}$ เมื่อ $n = 1, 2, 3, . . .$ ค่าของ $\lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{a_{n}}$ เท่ากับเท่าใด

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ a_{n} = \sqrt{n^{2} + 16 n + 3} - \sqrt{n^{2} + 2}$

$ต้องจัดรูป a_{n} ให้อยู่ในรูปเศษส่วนก่อน แล้วค่อยหาลิมิต a_{n} = (\sqrt{n^{2} + 16 n + 3} - \sqrt{n^{2} + 2}) \times \frac{\sqrt{n^{2} + 16 n + 3} + \sqrt{n^{2} + 2}}{\sqrt{n^{2} + 16 n + 3} + \sqrt{n^{2} + 2}}$
$คูณคอนจูเกต = \frac{(n^{2} + 16 n + 3) - (n^{2} + 2)}{\sqrt{n^{2} + 16 n + 3} + \sqrt{n^{2} + 2}} = \frac{16 n + 1}{\sqrt{n^{2} + 16 n + 3} + \sqrt{n^{2} + 2}} จะได้ \lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{16 n + 1}{\sqrt{n^{2} + 16 n + 3} + \sqrt{n^{2} + 2}}$

$การหา \underset{n \to \infty}{l i m} a_{n} ในรูปเศษส่วน เราตัดดีกรีตัวน้อยที่บวกลบอยู่ได้ ดังนั้น \lim_{n \to \infty} a_{n} = \frac{16 n}{\sqrt{n^{2}} + \sqrt{n^{2}}} = \frac{16 n}{2 \sqrt{n^{2}}} = \frac{16 n}{2 |n|}; |n| = n โดย n > 0 = \frac{16 n}{2 n} = 8$

$หาค่าของ \lim_{n \to \infty} \sqrt[3]{a_{n}} = {(\lim_{n \to \infty} a_{n})}^{\frac{1}{3}} = 8^{\frac{1}{3}} = {(2^{3})}^{\frac{1}{3}} = 2$