ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557

ข้อ 27

กำหนดให้ A และ B เป็นเมทริกซ์จัตุรัสมิติเท่ากัน โดยที่ det(A) $\neq$ 0 และ det(B) $\neq$ 0

ถ้า $d e t (A^{- 1} + B^{- 1}) \neq 0$ และ $d e t (A + B) \neq 0$ แล้ว ${(A + B)}^{- 1}$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้

1
$B^{- 1} (A^{- 1} + B^{- 1}) A^{- 1}$
2
$B^{- 1} {(A^{- 1} + B^{- 1})}^{- 1} A^{- 1}$
3
$B (A^{- 1} + B^{- 1}) A$
4
$B {(A^{- 1} + B^{- 1})}^{- 1} A$

เฉลยข้อสอบ

$จากนิยามของเมตริกซ์ {(A B)}^{- 1} = A^{- 1} B^{- 1} {(A B C)}^{- 1} = C^{- 1} B^{- 1} A^{- 1} A \cdot A^{- 1} = A^{- 1} \cdot A = I B \cdot B^{- 1} = B^{- 1} \cdot B = I$

$หาค่าของ {(A + B)}^{- 1} = {(A \cdot I + I \cdot B)}^{- 1} โดย I = A \cdot A^{- 1}, I = B^{- 1} \cdot B = {(A \cdot (B^{- 1} B) + (A A^{- 1}) \cdot B)}^{- 1} = {(A B^{- 1} B + A A^{- 1} B)}^{- 1}$

$ดึงตัวร่วม A; = {[A \cdot (B^{- 1} B + A^{- 1} B)]}^{- 1} ดึงตัวร่วม B; = {[A \cdot (B^{- 1} + A^{- 1}) \cdot B]}^{- 1} โดย {(A B C)}^{- 1} = C^{- 1} B^{- 1} A^{- 1} = B^{- 1} \cdot {(B^{- 1} + A^{- 1})}^{- 1} \cdot A^{- 1} สลับที่การบวก; = B^{- 1} \cdot {(A^{- 1} + B^{- 1})}^{- 1} \cdot A^{- 1}$