ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2557

ข้อ 6

ให้ $ℝ$ แทนเซตของจำนวนจริง ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชัน ซึ่งมีโดเมนและเรนจ์เป็นสับเซตของเซตจำนวนจริง

โดยที่ $f (x) = \frac{2 x^{2} + 4 x + 4}{x + 1}$ เมื่อ $x \neq - 1$ แล้วเรนจ์ของฟังก์ชัน $f$ เป็นสับเซตของข้อใดต่อไปนี้

1
${x \in ℝ | x^{2} + 6 x - 7 \geq 0}$
2
${x \in ℝ | x^{2} + 3 x - 10 \geq 0}$
3
${x \in ℝ | x^{2} + x - 12 \geq 0}$
4
${x \in ℝ | x^{2} - 6 x - 16 \geq 0}$

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ f (x) = \frac{2 x^{2} + 4 x + 4}{x + 1} \to y = \frac{2 x^{2} + 4 x + 4}{x + 1} - หาเรนจ์ของฟังก์ชัน f ต้องจัดรูปสมการ x = □ จะได้ y (x + 1) = 2 x^{2} + 4 x + 4 x y + y = 2 x^{2} + 4 x + 4$

$แต่ x เป็นกำลังสอง ต้องจัดในรูป a x^{2} + b x + c = 0 0 = 2 x^{2} + 4 x - x y + 4 - y 0 = 2 x^{2} + (4 - y) x + (4 - y) แล้วใช้สูตร x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} (a = 2, b = 4 - y, c = 4 - y)$

$จะได้ x = \frac{- (4 - y) \pm \sqrt{{(4 - y)}^{2} - 4 (2) (4 - y)}}{2 (2)} - แต่ ข้างใน \sqrt{} ต้อง \geq 0 ดังนั้น {(4 - y)}^{2} - 4 (2) (4 - y) \geq 0 16 - 8 y + y^{2} - 32 + 8 y \geq 0 y^{2} - 16 \geq 0 (y + 4) (y - 4) \geq 0$

$∴ เรนจ์ของ f คือ (- \infty, - 4] \cup [4, \infty)$

$นำเรนจ์ของ f มาเชคกับอสมการในตัวเลือก 1 . x^{2} + 6 x - 7 \geq 0 จะได้ (x + 7) (x - 1) \geq 0$

$(- \infty, - 7] \cup [1, \infty) 2 . x^{2} + 3 x - 10 \geq 0 จะได้ (x + 5) (x - 2) \geq 0$

$(- \infty, - 5] \cup [2, \infty)$