ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

ข้อ 12

ให้ $a, b$ และ $c$ เป็นเวกเตอร์บนระนาบ โดยที่ $a + b + c = 0$

เวกเตอร์ $a$ ทำมุม $135 °$ กับ เวกเตอร์ $b$

เวกเตอร์ $b$ ทำมุม $105 °$ กับ เวกเตอร์ $c$ และ

เวกเตอร์ $c$ ทำมุม $120 °$ กับ เวกเตอร์ $a$

ถ้าขนาดของเวกเตอร์ $a$ เท่ากับ 5 หน่วย แล้ว ผลบวกของขนาดของเวกเตอร์ $b$ กับเวกเตอร์ $c$ เท่ากับข้อใดต่อไปนี้

1
$\frac{10 + 2 \sqrt{6}}{1 + \sqrt{3}}$
2
$\frac{10 + 3 \sqrt{6}}{1 + \sqrt{3}}$
3
$\frac{10 + 4 \sqrt{6}}{1 + \sqrt{3}}$
4
$\frac{10 + 5 \sqrt{6}}{1 + \sqrt{3}}$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$จากโจทย์ a + b + c = 0 จะได้$

$จากโจทย์ เวกเตอร์ a ทำมุม 135 ° กับเวกเตอร์ b - โดย มุมระหว่างเวกเตอร์ a และ b จะทำมุมกันแบบหางต่อหาง หรือหัวต่อหัว จะได้ θ_{1} = 180 ° - 135 ° = 45 ° ตามรูปด้านล่าง$

จะได้ว่า

$จากโจทย์ เวกเตอร์ b ทำมุม 105 ° กับเวกเตอร์ c จะได้ θ_{2} = 180 ° - 105 ° = 75 ° ตามรูปด้านล่าง$

$จากโจทย์ เวกเตอร์ c ทำมุม 120 ° กับเวกเตอร์ a จะได้ θ_{3} = 180 ° - 120 ° = 60 ° ตามรูปด้านล่าง$

$เนื่องจาก a + b + c = 0 จะได้รูปสามเหลี่ยม ABC ดังนี้$

$จากสูตร กฎของไซด์ \frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} พิจารณา \frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} \frac{5}{\sin 75 °} = \frac{b}{\sin 60 °} b = \frac{5}{\sin 75 °} \cdot \sin 60 ° b = \frac{5}{\sin 75 °} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2})$

$พิจารณา \frac{a}{sinA} = \frac{c}{\sin C} \frac{5}{\sin 75 °} = \frac{c}{\sin 45 °} c = \frac{5}{\sin 75 °} \cdot \sin 45 ° c = \frac{5}{\sin 75 °} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) ดังนั้น b + c = \frac{5}{\sin 75 °} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \frac{5}{\sin 75 °} \cdot (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{5}{\sin 75 °} \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) \to 1$

$โดย \sin 75 ° = \sin (45 ° + 30 °) = \sin 45 ° \cos 30 ° + \cos 45 ° \sin 30 ° = (\frac{\sqrt{2}}{2}) (\frac{\sqrt{3}}{2}) + (\frac{\sqrt{2}}{2}) (\frac{1}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} (\frac{\sqrt{3} + 1}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{4} (\sqrt{3} + 1); แทนใน 1 จาก 1 จะได้ b + c = 5 (\frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3} + 1}) \cdot (\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2})$
$= 5 (\frac{4}{\sqrt{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{3} + 1}) \cdot (\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{2}) = 5 (\frac{2}{\sqrt{2}}) (\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}) \cdot (\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + 1}) = 5 (\frac{2 \sqrt{2}}{2}) \cdot (\frac{\sqrt{3} + \sqrt{2}}{\sqrt{3} + 1}) = \frac{10 + 5 \sqrt{6}}{\sqrt{3} + 1} ผลบวกของขนานของเวกเตอร์ b กับเวกเตอร์ c เท่ากับ \frac{10 + 5 \sqrt{6}}{\sqrt{3} + 1}$

ข้อถัดไป