ข้อสอบ PAT 1 - มีนาคม 2558

ข้อ 19

กำหนดให้วงรีรูปหนึ่ง ผ่านจุด $(8, 0)$ มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ $(4, - 1)$ และโฟกัสจุดหนึ่งอยู่ที่ $(1, - 1)$ ถ้าพาราโบลารูปหนึ่งมีโฟกัสอยู่ที่จุดปลายของแกนโทของวงรีในควอดรันต์ (quardrant) ที่ 1 และมีเส้นไดเรกตริกซ์ทับกับแกนเอกของวงรี แล้วสมการของพาราโบลารูปนี้ตรงกับสมการในข้อใดต่อไปนี้

1
$x^{2} - 8 x + 4 y + 13 = 0$
2
$x^{2} - 8 x - 4 y + 20 = 0$
3
$x^{2} - 8 x + 6 y - 12 = 0$
4
$x^{2} - 8 x - 6 y + 19 = 0$

รีวิว - เสียงตอบรับจากผู้เรียน

เฉลยข้อสอบ

$วงรี จากโจทย์ วงรีรูปหนึ่ง ผ่านจุด (8, 0) มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (4, - 1) และโฟกัสจุดหนึ่งอยู่ที่ (1, - 1) - นำมาวาดรูปวงรี$

$จะได้ c = 3 หน่วย จากสูตร c^{2} = a^{2} - b^{2} 3^{2} = a^{2} - b^{2} a^{2} = b^{2} + 9 จากสูตร สมการวงรี มีแกนเอกขนานแกน x \frac{{(x - h)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y - k)}^{2}}{b^{2}} = 1 \frac{{(x - 4)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(y + 1)}^{2}}{b^{2}} = 1$

$โดยวงรีผ่านจุด (8, 0) จะได้ \frac{{(8 - 4)}^{2}}{a^{2}} + \frac{{(0 + 1)}^{2}}{b^{2}} = 1; โดย a^{2} = b^{2} + 9 \frac{16}{b^{2} + 9} + \frac{1}{b^{2}} = 1 16 b^{2} + b^{2} + 9 = (b^{2} + 9) b^{2} b^{4} - 8 b^{2} - 9 = 0 (b^{2} - 9) (b^{2} + 1) = 0; b^{2} + 1 > 0 เสมอ \to ตัดทิ้งได้ b^{2} - 9 = 0 b = 3$

$จากสูตร จุดปลายแกนโทของวงรี = (h, k \pm b) = (4, - 1 \pm 3) = (4, 2), (4, - 4) พาราโบลา จากโจทย์ พาราโบลามีโฟกัสที่จุดปลายของแกนโทของวงรีใน Q_{1} และมีเส้นไดเรกตริกซ์ทับกับแกนเอกของวงรี แสดงว่า แกนสมมาตรขนานแกน y นำมาวาดรูปพาราโบลา$

$จะได้ จุดยอดพาราโบลาอยู่ที่จุดกึ่งกลางระหว่างจุด F และ A (h, k) = (\frac{4 + 4}{2}, \frac{2 + (- 1)}{2}) (h, k) = (4, \frac{1}{2}) แสดงว่า c = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$

$จากสูตร สมการพาราโบลา (แกนสมมาตรขนานแกน y) {(x - h)}^{2} = 4 c (y - k) จะได้ {(x - 4)}^{2} = 4 (\frac{3}{2}) (y - \frac{1}{2}) x^{2} - 8 x + 16 = 6 y - 3 x^{2} - 8 x - 6 y + 19 = 0 ดังนั้น สมการพาราโบลา คือ x^{2} - 8 x - 6 y + 19 = 0$

ข้อถัดไป